প্রকৌশলীদের জন্য ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন কোর্স

পাঠ 1 • গাণিতিক পূর্বশর্ত পর্যালোচনা

ODE সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় ক্যালকুলাস ও বীজগণিতের সরঞ্জাম পুনর্বিবেচনা করে। শিক্ষার্থীরা যাতে সাবলীলভাবে অবকলন, সমাকলন এবং রাশিমালা প্রক্রিয়াজাত করতে পারেন তা নিশ্চিত করে।

পাঠ 2 • অবকল সমীকরণ কী

একটি অবকল সমীকরণের সংজ্ঞা এবং এর উপাদানসমূহ পরিচয় করিয়ে দেয়। পুরো কোর্স জুড়ে ব্যবহৃত পরিভাষা প্রতিষ্ঠা করে।

পাঠ 3 • প্রারম্ভিক ও সীমা মান সমস্যা

প্রারম্ভিক মান সমস্যা (IVP) থেকে সীমা মান সমস্যাকে (BVP) পৃথক করে এবং অস্তিত্ব-অনন্যতা শর্ত উল্লেখ করে। সমস্যা নির্ধারণকে বাস্তব প্রকৌশল সীমাবদ্ধতার সাথে সংযুক্ত করে।

পাঠ 4 • শ্রেণিবিন্যাস ও পরিভাষা

রৈখিকতা, সমঘাততা ও স্বায়ত্তশাসনের ভিত্তিতে ODE-গুলিকে শ্রেণিবদ্ধ করে। সঠিক শ্রেণিবিন্যাস সমাধানের কৌশল নির্বাচনে পথ দেখায়।

পাঠ 1 • আলগাীকরণযোগ্য সমীকরণ

সবচেয়ে সরাসরি প্রথম-ক্রম কৌশল হিসেবে চলকের পৃথকীকরণ শেখায়। শিক্ষার্থীরা এটিকে সূচকীয় বৃদ্ধি, ক্ষয় এবং মিশ্রণ সমস্যায় প্রয়োগ করে।

পাঠ 2 • বার্নুলি ও রিকাটি সমীকরণ

প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে অরৈখিক বার্নুলি এবং রিকাটি সমীকরণকে রৈখিক ফর্মে হ্রাস করে। অরৈখিক প্রথম-ক্রম সমস্যার জন্য টুলকিট প্রসারিত করে।

পাঠ 3 • রৈখিক প্রথম-ক্রম সমীকরণ

রৈখিক ODE-গুলির জন্য সমাকল উৎপাদক পদ্ধতি পরিচয় করিয়ে দেয়। কৌশলটিকে RC সার্কিট এবং তরল-প্রবাহ প্রকৌশল মডেলের সাথে সংযুক্ত করে।

পাঠ 4 • যথার্থ সমীকরণ ও সমাকল উৎপাদক

যথার্থতার শর্তের মাধ্যমে যথার্থ সমীকরণ শনাক্ত করে এবং বিভব ফাংশন তৈরি করে। সমাকল উৎপাদক ব্যবহার করে অ-যথার্থ ক্ষেত্রে প্রসারিত করে।

পাঠ 1 • অসমঘাত সমীকরণ: অনির্ধারিত সহগ

বিশেষ সমাধান খুঁজতে অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি প্রয়োগ করে। বহুপদী, সূচকীয় এবং সাইনতরঙ্গ বলপ্রয়োগ ফাংশন কভার করে।

পাঠ 2 • কশি-অয়লার সমীকরণ

ঘাত প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে চলক-সহগ কশি-অয়লার সমীকরণ সমাধান করে। বিম ডিফ্লেকশন এবং তরল বলবিদ্যার প্রয়োগের সাথে সংযুক্ত করে।

পাঠ 3 • পরামিতির পরিবর্তন

পরামিতির পরিবর্তন ব্যবহার করে নির্বিচার বলপ্রয়োগ ফাংশনের জন্য বিশেষ সমাধান নির্ণয় করে। অনির্ধারিত সহগের বাইরেও প্রযোজ্যতা প্রসারিত করে।

পাঠ 4 • যান্ত্রিক কম্পন মডেলিং

স্প্রিং-ভর-ড্যাম্পার তন্ত্রকে দ্বিতীয়-ক্রম ODE-তে রূপান্তরিত করে। শিক্ষার্থীরা মুক্ত, অবমন্দিত এবং বলপ্রয়োগকৃত কম্পনের প্রতিক্রিয়া বাস্তবভাবে ব্যাখ্যা করে।

পাঠ 1 • সংজ্ঞা ও মৌলিক ধর্ম

অসংগত সমাকলের মাধ্যমে ল্যাপ্লাস রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করে এবং রৈখিকতা প্রতিষ্ঠা করে। শিক্ষার্থীরা প্রমিত প্রকৌশল ফাংশনের রূপান্তর গণনা করে।

পাঠ 2 • ধাপ ফাংশন ও বিচ্ছিন্ন বলপ্রয়োগ

হেভিসাইড ধাপ ফাংশন এবং দ্বিতীয় স্থানান্তর উপপাদ্য ব্যবহার করে খণ্ড-ভিত্তিক বলপ্রয়োগ মডেল করে। সুইচকৃত বৈদ্যুতিক ও যান্ত্রিক তন্ত্রে প্রয়োগ করে।

পাঠ 3 • বিপরীত ল্যাপ্লাস রূপান্তর

আংশিক ভগ্নাংশ ও রূপান্তর সারণি ব্যবহার করে সময়-ডোমেন সমাধান পুনরুদ্ধার করে। সরল পোল, পুনরাবৃত্ত পোল ও জটিল পোল কভার করে।

পাঠ 4 • অবকলজের রূপান্তর ও IVP

প্রথম ও উচ্চতর অবকলজের জন্য রূপান্তর নিয়ম নির্ণয় করে। শিক্ষার্থীরা সরাসরি s-ডোমেনে IVP-গুলিকে বীজগাণিতিক সমীকরণে রূপান্তর করে।

পাঠ 1 • দশা তল বিশ্লেষণ

ট্রেস ও নির্ণায়ক ব্যবহার করে দ্বি-মাত্রিক রৈখিক তন্ত্রের সাম্যস্থিতিকে শ্রেণিবদ্ধ করে। শিক্ষার্থীরা দশা প্রতিকৃতি অঙ্কন করে এবং তন্ত্রের আচরণ ব্যাখ্যা করে।

পাঠ 2 • উচ্চতর-ক্রম ODE-কে তন্ত্রে রূপান্তর

অবস্থা চলকের মাধ্যমে n-তম ক্রম ODE-কে প্রথম-ক্রম তন্ত্রে পুনর্লিখন করে। অধ্যায় জুড়ে ব্যবহৃত ম্যাট্রিক্স ফর্ম প্রতিষ্ঠা করে।

পাঠ 3 • অসমঘাত তন্ত্র

বলপ্রয়োগ পদযুক্ত তন্ত্রে পরামিতির পরিবর্তন প্রসারিত করে। শিক্ষার্থীরা চালিত সংযুক্ত দোলক ও সার্কিট সমস্যা সমাধান করে।

পাঠ 4 • ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল ও ভিত্তি ম্যাট্রিক্স

ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল ও ভিত্তি সমাধান ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত করে। সমঘাত ও অসমঘাত উভয় তন্ত্রের জন্য একটি ঐক্যবদ্ধ কাঠামো প্রদান করে।

পাঠ 1 • স্টার্ম-লিউভিল তত্ত্ব সারসংক্ষেপ

স্টার্ম-লিউভিল ফর্মে আইগেনমান সমস্যা উপস্থাপন করে এবং আইগেন ফাংশনের লম্বিকতা প্রতিষ্ঠা করে। শিক্ষার্থীদের ফুরিয়ে শ্রেণি ও PDE বিস্তারের জন্য প্রস্তুত করে।

পাঠ 2 • বেসেলের সমীকরণ ও বেসেল ফাংশন

বেসেলের সমীকরণ থেকে প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকারের বেসেল ফাংশন নির্ণয় করে। সিলিন্ডারে তাপ পরিবহন ও কম্পমান পর্দায় এগুলি প্রয়োগ করে।

পাঠ 3 • লেজঁদ্রের সমীকরণ ও বহুপদী

লেজঁদ্রের সমীকরণ সমাধান করে এবং বহুপদী সমাধান শনাক্ত করে। তড়িৎচুম্বকত্ব ও তরল প্রবাহের গোলীয় স্থানাঙ্ক সমস্যার সাথে সংযুক্ত করে।

পাঠ 4 • নিয়মিত অদ্বিতীয় বিন্দুতে ফ্রোবেনিয়াস পদ্ধতি

যখন মূলবিন্দু একটি নিয়মিত অদ্বিতীয় বিন্দু হয় তখন ফ্রোবেনিয়াস পদ্ধতি প্রয়োগ করে। নির্দেশক সমীকরণের মূলগুলির পার্থক্য পূর্ণসংখ্যা হলে তা সামলায়।

পাঠ 1 • দ্বিতীয়-ক্রম PDE-এর শ্রেণিবিন্যাস

বিভেদক ব্যবহার করে PDE-কে উপবৃত্তাকার, পরাবৃত্তাকার বা অধিবৃত্তাকার হিসেবে শ্রেণিবদ্ধ করে। প্রতিটি শ্রেণিকে বাস্তব ঘটনা ও উপযুক্ত সমাধান পদ্ধতির সাথে সংযুক্ত করে।

পাঠ 2 • ল্যাপ্লাস সমীকরণ ও স্থির-অবস্থা সমস্যা

আয়তাকার ও বৃত্তাকার ডোমেনে দ্বি-মাত্রিক ল্যাপ্লাস সমীকরণ সমাধান করে। স্থির-অবস্থা তাপমাত্রা ও স্থিরতড়িৎ বিভব বণ্টন মডেল করে।

পাঠ 3 • ফুরিয়ে শ্রেণি ও লম্ব বিস্তার

পর্যায়বৃত্ত ও খণ্ড-ভিত্তিক ফাংশনকে ফুরিয়ে শ্রেণি হিসেবে উপস্থাপন করে। আইগেন ফাংশন বিস্তারের মাধ্যমে PDE সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জাম প্রতিষ্ঠা করে।

পাঠ 4 • তাপ সমীকরণ: চলকের পৃথকীকরণ

সমঘাত সীমা শর্ত সহ এক-মাত্রিক তাপ সমীকরণ সমাধান করে। শিক্ষার্থীরা সময়ের সাথে তাপমাত্রা বণ্টনের বিবর্তন ব্যাখ্যা করে।

পাঠ 1 • তন্ত্র ও BVP-এর জন্য সংখ্যাগত পদ্ধতি

রুঙ্গ-কুট্টা পদ্ধতি প্রথম-ক্রম তন্ত্রে প্রসারিত করে এবং BVP-তে শুটিং ও সসীম পার্থক্য পদ্ধতি প্রয়োগ করে। দ্বি-বিন্দু সীমা মান সমস্যা কভার করে।

পাঠ 2 • PDE-এর জন্য সসীম পার্থক্য পদ্ধতি

সসীম পার্থক্য ব্যবহার করে তাপ ও তরঙ্গ সমীকরণ ব্যবচ্ছিন্ন করে। শিক্ষার্থীরা কোরান্ট-ফ্রিডরিখ-লিউই শর্তের মাধ্যমে স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ করে।

পাঠ 3 • অয়লার ও উন্নত অয়লার পদ্ধতি

টেলর বিস্তার থেকে অয়লারের পদ্ধতি নির্ণয় করে এবং ভবিষ্যদ্বাণীকারী-সংশোধনকারী পদ্ধতির মাধ্যমে এর উন্নতি সাধন করে। শিক্ষার্থীরা স্থানীয় ও সর্বজনীন ছেদন ত্রুটি পরিমাপ করে।

পাঠ 4 • বহু-ধাপ পদ্ধতি

একক-ধাপ সমাধানকারীদের কার্যকর বিকল্প হিসেবে অ্যাডামস-বাশফোর্থ ও অ্যাডামস-মৌল্টন পদ্ধতি পরিচয় করিয়ে দেয়। সঙ্গতি, স্থিতিশীলতা ও অভিসৃতি বিশ্লেষণ করে।