Curso de Cálculo Aplicado con Python

Lección 1 • Configuración del Entorno de Python

Instalar Python, Jupyter, NumPy, SymPy y Matplotlib. Esta cadena de herramientas sustenta cada ejercicio computacional del curso.

Lección 2 • Sintaxis de Python para Trabajo Matemático

Cubrir variables, bucles, funciones y comprensiones de listas aplicadas al cálculo numérico. Estas construcciones traducen la notación matemática en código ejecutable.

Lección 3 • Expresiones Algebraicas con SymPy

Usar símbolos de SymPy para construir, simplificar y factorizar expresiones algebraicas. La manipulación simbólica es la puerta de entrada al cálculo analítico en Python.

Lección 4 • Arreglos Numéricos con NumPy

Crear y operar sobre arreglos de NumPy para evaluar funciones en intervalos. El cálculo basado en arreglos es la columna vertebral numérica de los flujos de trabajo de cálculo aplicado.

Lección 1 • Continuidad y Discontinuidades

Definir la continuidad formalmente y clasificar discontinuidades removibles, de salto e infinitas. Los scripts de Python detectan y visualizan discontinuidades en funciones reales.

Lección 2 • El Concepto de Límite

Introducir las definiciones informal y formal de límite usando tablas y gráficas. La exploración numérica en Python construye intuición antes de los métodos simbólicos.

Lección 3 • Cálculo de Límites con SymPy

Aplicar la función limit de SymPy para evaluar límites analíticos incluyendo formas indeterminadas. Los resultados simbólicos se verifican contra aproximaciones numéricas.

Lección 1 • Derivadas de Funciones Especiales

Diferenciar funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. SymPy las maneja analíticamente mientras que NumPy las evalúa numéricamente.

Lección 2 • Reglas Básicas de Diferenciación

Aplicar reglas de la potencia, constante, suma y diferencia para diferenciar polinomios. La función diff de SymPy automatiza y verifica los cálculos manuales.

Lección 3 • Diferenciación Implícita y Numérica

Diferenciar relaciones definidas implícitamente y aplicar esquemas de diferencias finitas numéricamente. Estas técnicas manejan funciones que no pueden resolverse explícitamente.

Lección 4 • Reglas del Producto, Cociente y Cadena

Extender la diferenciación a productos, cocientes y funciones compuestas. Estas reglas manejan la mayoría de las funciones encontradas en problemas aplicados.

Lección 1 • Optimización con Derivadas

Encontrar extremos absolutos y locales usando puntos críticos y análisis de frontera. SymPy resuelve las ecuaciones de la derivada mientras que minimize de SciPy valida los resultados.

Lección 2 • Regla de L'Hôpital y Análisis Asintótico

Resolver límites indeterminados usando la regla de L'Hôpital y analizar el comportamiento asintótico. SymPy automatiza la aplicación repetida y confirma las asíntotas gráficas.

Lección 3 • Crecimiento, Decrecimiento y Concavidad

Usar la primera y segunda derivada para determinar el comportamiento de la función y la concavidad. Los gráficos de Python anotados con características críticas refuerzan los hallazgos analíticos.

Lección 4 • Problemas de Tasas Relacionadas

Diferenciar ecuaciones de múltiples variables respecto al tiempo para vincular cantidades cambiantes. Python simula escenarios dinámicos y grafica relaciones de tasas.

Lección 1 • El Teorema Fundamental del Cálculo

Enunciar y aplicar ambas partes del Teorema Fundamental para conectar diferenciación e integración. SymPy demuestra el teorema simbólicamente en ejemplos concretos.

Lección 2 • Sumas de Riemann y la Integral Definida

Aproximar el área bajo una curva usando sumas de Riemann izquierda, derecha y de punto medio. Los bucles de Python y la vectorización de NumPy hacen visible el comportamiento de convergencia.

Lección 3 • Reglas y Fórmulas Básicas de Integración

Aplicar reglas de antiderivadas de potencia, exponencial y trigonométricas. SymPy valida cada resultado y destaca trampas comunes como constantes faltantes.

Lección 4 • Integración por Sustitución

Aplicar sustitución u para transformar integrales en formas más simples. Las herramientas de sustitución de SymPy automatizan la técnica para integrandos compuestos complejos.

Lección 1 • Valor Promedio y Teorema del Valor Medio

Calcular el valor promedio de una función y localizar el punto de valor medio garantizado. Estos conceptos aparecen en procesamiento de señales y promedios estadísticos.

Lección 2 • Volúmenes de Sólidos de Revolución

Aplicar métodos de discos, arandelas y capas para calcular volúmenes de sólidos rotados. Los gráficos tridimensionales de Matplotlib hacen concreta la geometría.

Lección 3 • Longitud de Arco y Área Superficial

Derivar y evaluar integrales de longitud de arco y área superficial para curvas suaves. La función quad de SciPy maneja integrandos que se resisten a antiderivadas simbólicas.

Lección 4 • Acumulación y Cambio Neto

Interpretar la integral como cambio acumulado en modelos de velocidad, población y costo. Python simula acumulación de series temporales y compara con resultados analíticos.

Lección 1 • Derivadas Parciales y Gradientes

Calcular derivadas parciales simbólicamente con SymPy y ensamblar el vector gradiente. El significado geométrico del gradiente como ascenso más pronunciado se visualiza con gráficos de campo.

Lección 2 • Funciones de Varias Variables

Definir y visualizar campos escalares usando gráficos de contorno y de superficie 3D. Comprender la geometría de las funciones multivariables precede a las técnicas analíticas.

Lección 3 • Derivadas Direccionales y la Regla de la Cadena

Calcular derivadas direccionales y aplicar la regla de la cadena multivariable a funciones compuestas. Estas herramientas modelan la sensibilidad a lo largo de direcciones arbitrarias en el espacio de parámetros.

Lección 4 • Optimización de Funciones Multivariables

Encontrar puntos críticos usando el gradiente y clasificarlos con el criterio de la segunda derivada. minimize de SciPy extiende la optimización a problemas restringidos y de alta dimensión.

Lección 1 • Solucionadores Numéricos de EDO

Implementar el método de Euler y usar solve_ivp de SciPy para soluciones numéricas precisas. La comparación de métodos revela compromisos entre simplicidad y precisión.

Lección 2 • EDO Separables y Lineales de Primer Orden

Resolver EDO separables por separación de variables y EDO lineales con factores integrantes. dsolve de SymPy automatiza ambos métodos y devuelve soluciones generales.

Lección 3 • Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Modelar sistemas dinámicos acoplados como modelos depredador-presa y compartimentales. SciPy solve_ivp maneja EDO vectoriales y los gráficos de plano fase revelan el comportamiento.

Lección 4 • Cálculo en Modelado Aplicado

Integrar herramientas de cálculo en modelos aplicados de extremo a extremo, desde datos a ecuación diferencial hasta conocimiento. Los miniproyectos integradores consolidan todas las competencias del curso.