Curso de Matemáticas de Probabilidad

Lección 1 • Axiomas y Propiedades Básicas

Presenta los tres axiomas de Kolmogorov y deriva reglas fundamentales a partir de ellos. Los estudiantes usan estas reglas para verificar y calcular probabilidades de manera rigurosa.

Lección 2 • Conjuntos, Resultados y Espacios Muestrales

Introduce la notación de conjuntos y el concepto de espacio muestral como el universo de resultados. Establece el vocabulario usado en todos los cálculos de probabilidad.

Lección 3 • Definición y Medición de la Probabilidad

Cubre las interpretaciones clásica, frecuentista y subjetiva de la probabilidad. Conecta cada interpretación con contextos reales de medición.

Lección 1 • Regla de la Multiplicación y Regla de la Cadena

Deriva la regla de la multiplicación a partir de la definición de probabilidad condicional. La extiende a cadenas de múltiples eventos dependientes.

Lección 2 • Teorema de Bayes y Actualización de Creencias

Deriva el teorema de Bayes y lo aplica para invertir probabilidades condicionales. Los estudiantes actualizan creencias previas con nueva evidencia en problemas estructurados.

Lección 3 • Ley de la Probabilidad Total

Introduce las particiones del espacio muestral y la fórmula de probabilidad total. Proporciona la base necesaria para derivar el teorema de Bayes.

Lección 4 • Probabilidad Condicional Definida

Define P(A|B) como una razón y explica cómo el condicionamiento restringe el espacio muestral. Construye el puente conceptual del razonamiento no condicional al condicional.

Lección 1 • Valor Esperado y Varianza

Deriva la esperanza como un promedio ponderado por probabilidad y la varianza como una medida de dispersión. Establece la linealidad de la esperanza y su poder computacional.

Lección 2 • Distribución Poisson

Deriva la distribución Poisson como un límite de la binomial para eventos raros. Los estudiantes la aplican a datos de conteo y verifican las condiciones de la aproximación de Poisson.

Lección 3 • Distribuciones Geométrica y Binomial Negativa

Modela tiempos de espera hasta el éxito usando las distribuciones geométrica y binomial negativa. Las conecta con la propiedad de carencia de memoria de los ensayos geométricos.

Lección 4 • Distribuciones Bernoulli y Binomial

Modela ensayos binarios con variables Bernoulli y ensayos repetidos con la binomial. Los estudiantes derivan y aplican las fórmulas de la función de masa de probabilidad, media y varianza.

Lección 1 • Funciones de Densidad de Probabilidad

Define la función de densidad de probabilidad y explica por qué las probabilidades puntuales son cero para variables continuas. Conecta la función de densidad de probabilidad con la función de distribución acumulativa mediante integración.

Lección 2 • Distribuciones Uniforme y Exponencial

Introduce la distribución uniforme para intervalos igualmente probables y la exponencial para tiempos de espera. Destaca la propiedad de carencia de memoria de la exponencial.

Lección 3 • Otras Distribuciones Continuas Clave

Revisa las distribuciones gamma, beta y log-normal y el papel de sus parámetros. Prepara a los estudiantes para reconocer y seleccionar modelos apropiados para diversas formas de datos.

Lección 4 • Esperanza y Varianza para Variables Continuas

Adapta las fórmulas de esperanza y varianza a integrales para distribuciones continuas. Refuerza el cálculo de momentos como un marco unificado para todos los tipos de variables.

Lección 1 • Distribuciones Condicionales

Extiende la probabilidad condicional a distribuciones condicionales completas de una variable dada otra. Se conecta con conceptos previos del teorema de Bayes en un marco distribucional.

Lección 2 • Distribuciones de Probabilidad Conjuntas

Define las funciones de masa de probabilidad y funciones de densidad de probabilidad conjuntas para pares de variables aleatorias. Los estudiantes extraen distribuciones marginales sumando o integrando sobre una variable.

Lección 3 • Transformaciones de Variables Aleatorias

Deriva las distribuciones de funciones de una o más variables aleatorias. Cubre la técnica de cambio de variable y el jacobiano para casos continuos.

Lección 4 • Distribución Normal Multivariada

Introduce la distribución normal bivariada y multivariada y su matriz de covarianza. Los estudiantes interpretan las normales marginales y condicionales y su significado geométrico.

Lección 1 • Modos de Convergencia

Distingue la convergencia en probabilidad, la convergencia casi segura y la convergencia en distribución. Aclara la jerarquía y las relaciones entre estos modos.

Lección 2 • Funciones Generadoras de Momentos

Introduce las funciones generadoras de momentos como herramienta para derivar momentos y probar resultados distribucionales. Los estudiantes usan las funciones generadoras de momentos para establecer el teorema del límite central e identificar distribuciones.

Lección 3 • Teorema del Límite Central

Demuestra que las medias muestrales estandarizadas convergen a una distribución normal. Los estudiantes aplican el teorema del límite central para aproximar probabilidades de sumas y promedios.

Lección 4 • Desigualdades y Cotas de Probabilidad

Deriva las desigualdades de Markov y Chebyshev como herramientas para acotar probabilidades de cola. Proporciona cotas rigurosas sin requerir el conocimiento de la distribución completa.

Lección 1 • Intervalos de Confianza

Construye intervalos de confianza para medias y proporciones usando distribuciones muestrales. Los estudiantes interpretan la probabilidad de cobertura y las ventajas y desventajas del ancho del intervalo.

Lección 2 • Pruebas Paramétricas Comunes

Aplica el marco de prueba de hipótesis a las pruebas z, t y chi-cuadrada. Conecta cada prueba con su modelo de probabilidad subyacente.

Lección 3 • Distribuciones Muestrales

Deriva las distribuciones de estadísticos muestrales como la media y la varianza. Introduce las distribuciones chi-cuadrada, t y F como herramientas para la inferencia.

Lección 4 • Estimación Puntual

Define las propiedades de los estimadores, incluyendo insesgamiento, consistencia y eficiencia. Los estudiantes aplican la estimación por el método de momentos y por máxima verosimilitud.

Lección 1 • Fundamentos de la Teoría de Colas

Modela líneas de espera usando estructuras de colas M/M/1 y M/M/c. Los estudiantes calculan la longitud promedio de la cola, el tiempo de espera y la utilización del servidor.

Lección 2 • Distribuciones Estacionarias y Comportamiento a Largo Plazo

Deriva las distribuciones estacionarias y las condiciones para su existencia y unicidad. Los estudiantes interpretan las probabilidades de estado estable en entornos aplicados.

Lección 3 • Procesos de Poisson

Define el proceso de Poisson a través de sus propiedades de conteo y tiempos entre llegadas. Los estudiantes derivan las distribuciones de los tiempos de llegada y aplican el proceso a sistemas reales.

Lección 4 • Confiabilidad y Análisis de Supervivencia

Aplica las distribuciones exponencial y Weibull para modelar tiempos de vida de componentes. Los estudiantes calculan tasas de falla, funciones de supervivencia y confiabilidad del sistema.

Lección 5 • Cadenas de Markov en Tiempo Discreto

Introduce la propiedad de Markov y las matrices de probabilidad de transición. Los estudiantes calculan probabilidades de transición en múltiples pasos y clasifican los estados.