Curso de procesos estocásticos

Lección 1 • Esperanza y Momentos

Define la esperanza basada en la integración de Lebesgue y los funcionales de momentos. Estas herramientas cuantifican el comportamiento promedio y la variabilidad en modelos estocásticos.

Lección 2 • Medidas de Probabilidad y Axiomas

Introduce los axiomas de Kolmogorov y la probabilidad desde la teoría de la medida. Proporciona la base rigurosa para todos los enunciados probabilísticos en capítulos posteriores.

Lección 3 • Conceptos de Convergencia en Probabilidad

Distingue la convergencia casi segura, en probabilidad y en media cuadrática. Prepara a los estudiantes para analizar el comportamiento límite de sucesiones estocásticas.

Lección 4 • Variables Aleatorias y Distribuciones

Cubre variables aleatorias discretas y continuas y sus distribuciones. Vincula la teoría abstracta de la medida con el modelado probabilístico práctico.

Lección 1 • Definición y Clasificación de Procesos

Formaliza un proceso estocástico como una familia indexada de variables aleatorias. La clasificación por tiempo y espacio de estados discretos o continuos guía la selección del modelo.

Lección 2 • Estacionariedad y Ergodicidad

Define la estacionariedad estricta y en sentido amplio, y las propiedades ergódicas. Estos conceptos sustentan el análisis de series de tiempo y los cálculos de promedios a largo plazo.

Lección 3 • Distribuciones Finito-Dimensionales

Caracteriza procesos a través de sus familias de distribuciones finito-dimensionales. El teorema de consistencia de Kolmogorov garantiza la existencia de procesos bien definidos.

Lección 1 • Clasificación de Estados

Clasifica los estados como transitorios, recurrentes o absorbentes según las probabilidades de retorno. La clasificación determina la ocupación a largo plazo y los resultados de absorción.

Lección 2 • Análisis de Absorción y Primer Paso

Calcula probabilidades de absorción y tiempos esperados de alcance usando sistemas lineales. Estos cálculos son esenciales para aplicaciones de confiabilidad y teoría de colas.

Lección 3 • Distribuciones Estacionarias y Límite

Deriva condiciones para la existencia y unicidad de distribuciones estacionarias. Conecta la teoría ergódica con las interpretaciones de frecuencia a largo plazo.

Lección 4 • Reversibilidad y Balance Detallado

Introduce cadenas temporalmente reversibles y la condición de balance detallado. La reversibilidad simplifica el cálculo de la distribución estacionaria en redes complejas.

Lección 1 • Definición y Propiedades del Proceso de Poisson

Caracteriza el proceso de Poisson mediante incrementos independientes y conteos con distribución de Poisson. Se comparan tres definiciones equivalentes para flexibilidad en el modelado.

Lección 2 • Teorema de la Recompensa de Renovación y Aplicaciones

Aplica el teorema de la recompensa de renovación para calcular recompensas promedio a largo plazo por unidad de tiempo. Cubre optimización de políticas de inventario, mantenimiento y reemplazo.

Lección 3 • Fundamentos de la Teoría de la Renovación

Define procesos de renovación y deriva la ecuación de renovación y el teorema elemental de renovación. Proporciona el marco asintótico para el análisis de tasas a largo plazo.

Lección 4 • Superposición y Adelgazamiento

Deriva reglas para fusionar y dividir procesos de Poisson. Estas operaciones modelan enrutamiento, multiplexación y muestreo aleatorio de flujos de eventos.

Lección 1 • Distribuciones Estacionarias y Ergodicidad

Extiende la teoría ergódica de tiempo discreto a entornos de tiempo continuo. Se establecen condiciones para recurrencia positiva y distribuciones estacionarias únicas.

Lección 2 • Matriz Generadora y Ecuaciones de Kolmogorov

Define el generador infinitesimal y deriva las ecuaciones progresivas y regresivas. Estas ecuaciones diferenciales gobiernan la evolución de las probabilidades de transición.

Lección 3 • Tiempos de Permanencia Exponenciales y Tasas

Establece que los tiempos de estancia sin memoria siguen distribuciones exponenciales. Esta propiedad permite la formulación basada en generadores de las cadenas en tiempo continuo.

Lección 4 • Procesos de Nacimiento y Muerte

Analiza cadenas con transiciones solo a estados adyacentes, cubriendo modelos de población y colas. Se derivan distribuciones estacionarias en forma cerrada mediante balance detallado.

Lección 1 • Definición de Martingala y Ejemplos

Define martingalas, submartingalas y supermartingalas con ejemplos canónicos. Reconocer la estructura de martingala permite atajos analíticos poderosos.

Lección 2 • Esperanza Condicional y Filtraciones

Define rigurosamente la esperanza condicional e introduce las filtraciones como flujos de información. Estos conceptos sustentan la definición formal de martingalas.

Lección 3 • Tiempos de Paro y Teorema de Paro Opcional

Define tiempos de paro y enuncia las condiciones para el teorema de paro opcional. Aplica el teorema para calcular tiempos esperados de salida y probabilidades de ruina.

Lección 4 • Teoremas de Convergencia de Martingalas

Presenta la desigualdad de cruces ascendentes de Doob y el teorema de convergencia casi segura. Estos resultados establecen cuándo existen límites de martingalas y son integrables.

Lección 1 • Propiedades de Markov y Martingala

Demuestra que el movimiento browniano es tanto un proceso de Markov como una martingala. Deriva martingalas clave incluyendo las martingalas brownianas exponencial y cuadrática.

Lección 2 • Procesos Gaussianos y Núcleos de Covarianza

Define procesos gaussianos a través de sus distribuciones gaussianas finito-dimensionales. La selección del núcleo de covarianza determina la suavidad y la estructura de correlación.

Lección 3 • Construcción del Movimiento Browniano

Construye el movimiento browniano mediante la medida de Wiener y la construcción de Lévy-Ciesielski. Establece la existencia de un proceso con trayectorias continuas e incrementos independientes.

Lección 4 • Propiedades de las Trayectorias Muestrales Brownianas

Analiza la variación cuadrática, la continuidad de Hölder y la ley del logaritmo iterado. Estas propiedades de trayectoria son esenciales para el desarrollo del cálculo estocástico.

Lección 1 • Teorema de Girsanov y Cambio de Medida

Enuncia el teorema de Girsanov para cambiar la deriva mediante una medida de probabilidad equivalente. Este resultado es fundamental para la valoración neutral al riesgo y los métodos de razón de verosimilitud.

Lección 2 • Métodos Numéricos para EDEs

Introduce los esquemas de Euler-Maruyama y Milstein para simular soluciones de EDEs. Analiza órdenes de convergencia fuerte y débil para control práctico del error.

Lección 3 • Ecuaciones Diferenciales Estocásticas

Formula EDEs y establece existencia y unicidad bajo condiciones de Lipschitz. Cubre EDEs lineales y el proceso de Ornstein-Uhlenbeck como ejemplos canónicos.

Lección 4 • Fórmula de Ito y Cambio de Variables

Deriva la fórmula de Ito como la regla de la cadena estocástica para funciones dos veces diferenciables. Aplica la fórmula para calcular la dinámica de procesos transformados.