Cours d'inférence statistique

Leçon 1 • Rappels de probabilités pour l'inférence

Reprend les règles de probabilité essentielles pour dériver les distributions d'échantillonnage. Relie la probabilité axiomatique à la quantification de l'incertitude centrale à l'inférence.

Leçon 2 • Variables aléatoires et espérance

Formalise les variables aléatoires, l'espérance mathématique et la variance comme outils pour caractériser le comportement des estimateurs. Fournit l'algèbre nécessaire pour dériver les distributions d'échantillonnage.

Leçon 3 • Distributions d'échantillonnage

Dérive la distribution des statistiques d'échantillon sous échantillonnage répété. Motive directement le concept d'erreur standard utilisé dans les tests d'hypothèse et les intervalles de confiance.

Leçon 4 • Distributions de référence clés

Introduit les lois t, khi-deux et F dérivées d'échantillons normaux. Ces distributions sous-tendent les statistiques de test abordées dans les chapitres ultérieurs.

Leçon 1 • Estimation par maximum de vraisemblance

Construit la fonction de vraisemblance et la maximise pour obtenir les estimations par MLE. La MLE est la méthode d'estimation dominante référencée dans l'ensemble des chapitres appliqués.

Leçon 2 • Borne inférieure de Cramér-Rao et UMVUE

Établit la variance minimale théorique pour les estimateurs sans biais. Identifie les estimateurs sans biais uniformément de variance minimale comme l'étalon-or.

Leçon 3 • Propriétés et critères des estimateurs

Définit le biais, la convergence et l'erreur quadratique moyenne comme critères d'évaluation formels. Établit le cadre pour comparer objectivement des estimateurs concurrents.

Leçon 4 • Estimation par la méthode des moments

Dérive des estimateurs en égalant les moments de la population et de l'échantillon. Fournit un point d'entrée intuitif avant l'approche plus puissante du maximum de vraisemblance.

Leçon 1 • Concepts d'intervalle de confiance

Définit la probabilité de couverture et l'interprétation fréquentiste de la confiance. Corrige les idées fausses courantes avant que les étudiants n'appliquent les méthodes d'intervalle.

Leçon 2 • Intervalles pour les moyennes et proportions

Dérive les intervalles z et t pour un et deux échantillons pour les moyennes et proportions. Ce sont les intervalles les plus fréquemment appliqués dans la pratique professionnelle.

Leçon 3 • Régions de confiance basées sur la vraisemblance

Construit des ensembles de confiance à partir de la vraisemblance profilée et de l'inversion du rapport de vraisemblance. Fournit des intervalles asymptotiquement valides sans nécessiter de quantités pivots.

Leçon 4 • Détermination de la taille de l'échantillon

Dérive les tailles d'échantillon nécessaires pour atteindre une marge d'erreur et une couverture cibles. Relie la largeur de l'intervalle aux décisions de conception prises avant la collecte de données.

Leçon 1 • Tests pour les variances

Applique les tests du khi-deux et F aux hypothèses de variance. Prépare les étudiants à l'ANOVA et aux diagnostics de régression introduits dans les chapitres ultérieurs.

Leçon 2 • Valeurs p et leur interprétation

Définit la valeur p comme la probabilité d'obtenir des données au moins aussi extrêmes sous l'hypothèse nulle. Aborde les interprétations erronées répandues qui conduisent à des conclusions erronées.

Leçon 3 • Erreurs de type I et de type II

Quantifie la probabilité de rejet à tort et d'acceptation à tort. Introduit la fonction de puissance statistique comme outil pour évaluer la qualité d'un test.

Leçon 4 • Logique et structure des tests d'hypothèse

Cadre le test comme un problème de décision avec des hypothèses nulle et alternative. Établit le paradigme de la région de rejet que tous les tests ultérieurs suivent.

Leçon 1 • Tests de score et de Wald

Présente les tests de score et de Wald comme des alternatives asymptotiquement équivalentes au LRT. Met en évidence les avantages computationnels dans les modèles complexes.

Leçon 2 • Lemme de Neyman-Pearson

Prouve que le test du rapport de vraisemblance est le plus puissant pour les hypothèses simples. Fournit le fondement théorique pour toutes les dérivations de tests optimaux.

Leçon 3 • Tests uniformément les plus puissants

Étend les tests les plus puissants aux alternatives composites via les rapports de vraisemblance monotones. Identifie quand les tests UMP existent et quand ils n'existent pas.

Leçon 4 • Tests sans biais et invariants

Introduit l'absence de biais et l'invariance comme critères d'optimalité supplémentaires pour les tests. Résout les cas où les tests UMP n'existent pas en imposant des contraintes structurelles.

Leçon 1 • Bayes empirique et modèles hiérarchiques

Estime les hyperparamètres à partir des données et structure les a priori de manière hiérarchique. Fait le pont entre les estimateurs de retrait bayésiens et fréquentistes utilisés dans les contextes appliqués.

Leçon 2 • Cadre bayésien et distributions a priori

Formalise le théorème de Bayes comme moteur de l'inférence et introduit la spécification de l'a priori. Contraste les choix de priorités subjectifs, conjugués et non informatifs.

Leçon 3 • Distributions a posteriori et résumés

Dérive les distributions a posteriori et extrait les résumés ponctuels et par intervalle. Relie la moyenne a posteriori et les estimations MAP à leurs homologues fréquentistes.

Leçon 4 • Tests d'hypothèse bayésiens

Introduit les facteurs de Bayes et les cotes a posteriori comme alternatives aux valeurs p. Montre comment les tests bayésiens évitent certains pièges décisionnels fréquentistes.

Leçon 1 • Fondements de l'inférence non paramétrique

Motive les méthodes sans distribution lorsque la normalité ou l'homoscédasticité ne peuvent être supposées. Introduit les statistiques d'ordre et les rangs comme éléments de base des tests non paramétriques.

Leçon 2 • Tests de permutation

Génère la distribution nulle exacte en permutant les étiquettes des données observées. Fournit des valeurs p exactes pour toute statistique de test sans approximations asymptotiques.

Leçon 3 • Méthodes bootstrap

Utilise le rééchantillonnage à partir de la distribution empirique pour estimer la variabilité d'échantillonnage. Construit des intervalles de confiance bootstrap sans formules d'erreur standard de forme fermée.

Leçon 4 • Tests non paramétriques pour groupes multiples

Étend l'inférence basée sur les rangs aux plans à k échantillons et en blocs via les tests de Kruskal-Wallis et de Friedman. Fournit des alternatives non paramétriques à l'ANOVA à un et deux facteurs.

Leçon 1 • Théorie de la décision statistique

Cadre l'estimation et les tests comme des décisions minimisant la perte espérée. Unifie les approches fréquentistes et bayésiennes sous un même chapeau de la théorie de la décision.

Leçon 2 • Problème des comparaisons multiples

Quantifie comment le taux d'erreur par famille s'accroît avec le nombre de tests simultanés. Motive la nécessité d'une correction de multiplicité dans tout contexte à hypothèses multiples.

Leçon 3 • Réplication, taille de l'effet et puissance

Relie la signification statistique à l'importance pratique via les mesures de taille de l'effet. Aborde la crise de la réplication et les meilleures pratiques pour une inférence reproductible.

Leçon 4 • Contrôle du taux de fausses découvertes

Introduit le FDR comme une alternative moins conservatrice au FWER pour les tests à grande échelle. Dérive la procédure de Benjamini-Hochberg et ses hypothèses.