Cours d'analyse complexe

Leçon 1 • Algèbre des nombres complexes

Couvre l'addition, la multiplication, le module et l'opération conjuguée. Établit le fondement arithmétique nécessaire à toute analyse ultérieure.

Leçon 2 • Géométrie du plan complexe

Interprète les nombres complexes comme des points et des vecteurs dans le plan. Relie les opérations algébriques à des transformations géométriques.

Leçon 3 • Topologie du plan complexe

Définit les ouverts, les voisinages et la connexité dans le plan complexe. Fournit le langage topologique utilisé tout au long du cours.

Leçon 1 • Fonctions multivoques et branches

Aborde les coupures de branche et les surfaces de Riemann pour les fonctions multivoques. Établit des branches analytiques univoques utilisées en intégration.

Leçon 2 • Limites des fonctions complexes

Définit rigoureusement les limites en utilisant le langage epsilon-delta adapté au plan. Relie le comportement limite à la dépendance au chemin en deux dimensions.

Leçon 3 • Continuité et ses propriétés

Caractérise les fonctions continues et leur préservation des propriétés topologiques. Relie la continuité à la continuité uniforme sur les ensembles compacts.

Leçon 1 • Fonctions analytiques et fonctions harmoniques

Établit que les parties réelle et imaginaire des fonctions analytiques sont harmoniques. Construit des conjuguées harmoniques par intégration.

Leçon 2 • Équations de Cauchy-Riemann

Déduit les conditions de Cauchy-Riemann comme critères nécessaires et suffisants. Les applique pour vérifier l'analyticité des fonctions standard.

Leçon 3 • Définition de la dérivée complexe

Définit la dérivée complexe comme une limite et la contraste avec la dérivation réelle. Met en évidence les contraintes plus fortes imposées par la dérivabilité complexe.

Leçon 4 • Règles de dérivation et fonctions entières

Étend les règles de somme, produit, chaîne et quotient aux fonctions complexes. Classifie les fonctions entières et introduit le théorème de Liouville de manière informelle.

Leçon 1 • Théorème intégral de Cauchy

Démontre l'indépendance du chemin pour les fonctions analytiques sur des domaines simplement connexes. Introduit le principe de déformation des contours.

Leçon 2 • Conséquences du théorème de Cauchy

Applique les résultats de Cauchy pour démontrer le théorème de Liouville et le théorème fondamental de l'algèbre. Démontre la puissance des contraintes d'analyticité.

Leçon 3 • Formule intégrale de Cauchy

Déduit la formule exprimant les valeurs d'une fonction via des intégrales curvilignes. S'étend aux dérivées d'ordre supérieur et établit la dérivabilité infinie.

Leçon 1 • Séries entières et rayon de convergence

Analyse la convergence des séries entières à l'aide des tests du rapport et de la racine. Établit que les séries entières définissent des fonctions analytiques à l'intérieur de leur disque de convergence.

Leçon 2 • Prolongement analytique

Définit le prolongement analytique et le théorème d'identité pour les fonctions analytiques. Démontre comment les fonctions s'étendent de manière unique au-delà de leur domaine initial.

Leçon 3 • Séries de Taylor des fonctions analytiques

Déduit les développements de Taylor à partir de la formule intégrale de Cauchy. Calcule les séries pour les fonctions standard et détermine les disques de convergence.

Leçon 1 • Intégrales impropres via les résidus

Évalue des intégrales réelles impropres en utilisant des contours semi-circulaires et rectangulaires. Applique le lemme de Jordan pour gérer la décroissance exponentielle sur les arcs.

Leçon 2 • Intégrales avec coupures de branche

Traite les intégrandes avec des coupures de branche algébriques ou logarithmiques en utilisant des contours en trou de serrure. Étend les méthodes des résidus aux fonctions multivoques.

Leçon 3 • Principe de l'argument et théorème de Rouché

Utilise le principe de l'argument pour compter les zéros et les pôles à l'intérieur d'un contour. Applique le théorème de Rouché pour localiser les zéros de fonctions perturbées.

Leçon 4 • Résidus et théorème des résidus

Définit les résidus comme des coefficients de Laurent et démontre le théorème des résidus. Relie les résidus aux nombres d'enroulement et aux singularités enfermées.

Leçon 1 • Transformation de Schwarz-Christoffel

Déduit la formule de Schwarz-Christoffel pour appliquer le demi-plan supérieur sur des polygones. L'applique pour résoudre l'équation de Laplace sur des domaines polygonaux.

Leçon 2 • Applications conformes élémentaires

Catalogue les applications conformes standard, y compris les applications exponentielle, puissance et Joukowski. Construit une boîte à outils pour transformer des régions géométriques standard.

Leçon 3 • Théorie des applications conformes

Définit la conformalité via la préservation des angles et de l'orientation aux points non critiques. Relie la conformalité à l'analyticité et à une dérivée non nulle.

Leçon 4 • Problèmes aux limites via les applications conformes

Résout l'équation de Laplace sur des domaines complexes en les appliquant sur des géométries plus simples. Démontre la pertinence physique des techniques conformes.

Leçon 1 • Théorèmes de Picard et distribution des valeurs

Énonce et interprète les petits et grands théorèmes de Picard sur les valeurs omises. Relie à la théorie de Nevanlinna et à la distribution des valeurs des fonctions entières.

Leçon 2 • Fonctions méromorphes et Mittag-Leffler

Construit des fonctions méromorphes avec des pôles prescrits via le théorème de Mittag-Leffler. Contraste avec la factorisation de Weierstrass pour les zéros.

Leçon 3 • Familles normales et théorème de Montel

Définit les familles normales de fonctions analytiques et démontre le théorème de Montel. Fournit l'outil de compacité utilisé dans la démonstration du théorème de Riemann.

Leçon 4 • Fonctions Gamma et Zêta

Analyse la fonction Gamma comme un prolongement analytique de la factorielle. Introduit la fonction zêta de Riemann et son équation fonctionnelle.