Cours d'analyse complexe

Leçon 1 • Algèbre des nombres complexes

Couvre l'addition, la multiplication, le module et les opérations de conjugaison. Établit les fondements arithmétiques nécessaires à toute analyse ultérieure.

Leçon 2 • Géométrie du plan complexe

Interprète les nombres complexes comme des points et des vecteurs dans le plan. Relie les opérations algébriques aux transformations géométriques.

Leçon 3 • Topologie du plan complexe

Définit les ensembles ouverts, les voisinages et la connexité dans le plan complexe. Fournit le langage topologique utilisé tout au long du cours.

Leçon 1 • Fonctions multiformes et branches

Aborde les coupures de branche et les surfaces de Riemann pour les fonctions multiformes. Établit des branches analytiques uniformes utilisées en intégration.

Leçon 2 • Limites de fonctions complexes

Définit rigoureusement les limites en utilisant le langage epsilon-delta adapté au plan. Relie le comportement limite à la dépendance au chemin bidimensionnel.

Leçon 3 • Continuité et ses propriétés

Caractérise les fonctions continues et leur préservation des propriétés topologiques. Relie la continuité à la continuité uniforme sur les ensembles compacts.

Leçon 1 • Fonctions analytiques et fonctions harmoniques

Établit que les parties réelle et imaginaire des fonctions analytiques sont harmoniques. Construit les conjuguées harmoniques par intégration.

Leçon 2 • Équations de Cauchy-Riemann

Dérive les conditions de Cauchy-Riemann comme critères nécessaires et suffisants. Les applique pour vérifier l'analyticité de fonctions standard.

Leçon 3 • Définition de la dérivée complexe

Définit la dérivée complexe comme une limite et la compare à la dérivation réelle. Met en évidence les contraintes plus fortes imposées par la dérivabilité complexe.

Leçon 4 • Règles de dérivation et fonctions entières

Étend les règles de somme, produit, composition et quotient aux fonctions complexes. Classe les fonctions entières et introduit informellement le théorème de Liouville.

Leçon 1 • Théorème intégral de Cauchy

Démontre l'indépendance du chemin pour les fonctions analytiques sur des domaines simplement connexes. Introduit le principe de déformation des contours.

Leçon 2 • Conséquences du théorème de Cauchy

Applique les résultats de Cauchy pour démontrer le théorème de Liouville et le théorème fondamental de l'algèbre. Démontre la puissance des contraintes d'analyticité.

Leçon 3 • Formule intégrale de Cauchy

Dérive la formule exprimant les valeurs d'une fonction via des intégrales curvilignes. L'étend aux dérivées d'ordre supérieur et établit la différentiabilité infinie.

Leçon 1 • Séries entières et rayon de convergence

Analyse de la convergence des séries entières à l'aide des tests du rapport et de la racine. Établit que les séries entières définissent des fonctions analytiques à l'intérieur de leur disque de convergence.

Leçon 2 • Prolongement analytique

Définit le prolongement analytique et le théorème d'identité pour les fonctions analytiques. Démontre comment les fonctions s'étendent de manière unique au-delà de leur domaine initial.

Leçon 3 • Séries de Taylor des fonctions analytiques

Dérive les développements de Taylor à partir de la formule intégrale de Cauchy. Calcule les séries pour des fonctions standard et détermine les disques de convergence.

Leçon 1 • Intégrales impropres via les résidus

Évalue les intégrales réelles impropres en utilisant des contours semi-circulaires et rectangulaires. Applique le lemme de Jordan pour traiter la décroissance exponentielle sur les arcs.

Leçon 2 • Intégrales avec coupures de branche

Traite les intégrandes comportant des coupures de branche algébriques ou logarithmiques à l'aide de contours en trou de serrure. Étend les méthodes des résidus aux fonctions multiformes.

Leçon 3 • Principe de l'argument et théorème de Rouché

Utilise le principe de l'argument pour compter les zéros et les pôles à l'intérieur d'un contour. Applique le théorème de Rouché pour localiser les zéros de fonctions perturbées.

Leçon 4 • Résidus et théorème des résidus

Définit les résidus comme coefficients de Laurent et démontre le théorème des résidus. Relie les résidus aux indices de lacet et aux singularités enfermées.

Leçon 1 • Transformation de Schwarz-Christoffel

Dérive la formule de Schwarz-Christoffel pour appliquer le demi-plan supérieur sur des polygones. L'applique pour résoudre l'équation de Laplace sur des domaines polygonaux.

Leçon 2 • Applications conformes élémentaires

Catalogue des applications conformes standard incluant les applications exponentielle, puissance et Joukowski. Construit une boîte à outils pour transformer des régions géométriques standard.

Leçon 3 • Théorie des applications conformes

Définit la conformité par la conservation des angles et de l'orientation aux points non critiques. Relie la conformité à l'analyticité et à une dérivée non nulle.

Leçon 4 • Problèmes aux limites via les applications conformes

Résout l'équation de Laplace sur des domaines complexes en les appliquant sur des géométries plus simples. Démontre la pertinence physique des techniques conformes.

Leçon 1 • Théorèmes de Picard et distribution des valeurs

Énonce et interprète les petits et grands théorèmes de Picard sur les valeurs omises. Relie à la théorie de Nevanlinna et à la distribution des valeurs des fonctions entières.

Leçon 2 • Fonctions méromorphes et théorème de Mittag-Leffler

Construit des fonctions méromorphes avec des pôles prescrits via le théorème de Mittag-Leffler. Contraste avec la factorisation de Weierstrass pour les zéros.

Leçon 3 • Familles normales et théorème de Montel

Définit les familles normales de fonctions analytiques et démontre le théorème de Montel. Fournit l'outil de compacité utilisé dans la démonstration du théorème de l'application conforme de Riemann.

Leçon 4 • Les fonctions Gamma et Zêta

Analyse la fonction Gamma comme un prolongement analytique de la factorielle. Introduit la fonction zêta de Riemann et son équation fonctionnelle.