Cours d'analyse mathématique

Leçon 1 • Techniques et stratégies de démonstration

Présente la démonstration directe, par l'absurde, par contraposition et par récurrence. Construit la boîte à outils que les étudiants appliquent pour vérifier chaque résultat analytique.

Leçon 2 • Structure axiomatique des nombres réels

Présente les axiomes de corps, d'ordre et de complétude. Ces axiomes sous-tendent tout théorème sur les limites, la continuité et l'intégration.

Leçon 3 • Fonctions et cardinalité

Définit les injections, surjections et bijections, puis classe les ensembles infinis. Les concepts de cardinalité réapparaissent lors de l'étude des réunions dénombrables et de la mesure.

Leçon 1 • Suites monotones et sous-suites

Établit le théorème de convergence monotone et le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ces résultats sont fondamentaux pour la convergence des séries et les arguments de compacité.

Leçon 2 • Lois des limites et opérations algébriques

Démontre les règles de somme, de produit et de quotient pour les limites de suites. Permet le calcul efficace des limites sans répéter les arguments epsilon-N à chaque fois.

Leçon 3 • Convergence et définition epsilon-N

Formalise la signification de la convergence d'une suite à l'aide de epsilon-N. Relie les notions intuitives de proximité à l'axiome de complétude introduit précédemment.

Leçon 1 • Continuité et types de discontinuité

Définit la continuité ponctuelle et uniforme et classifie les discontinuités de type effaçable, saut et essentielle. Prépare les étudiants à la théorie de l'intégration qui nécessite des conditions de continuité.

Leçon 2 • Théorèmes clés sur les fonctions continues

Démontre le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des valeurs extrêmes. Ces résultats justifient les algorithmes de recherche de racines et les méthodes d'optimisation utilisés dans les chapitres appliqués.

Leçon 3 • Continuité uniforme et extensions

Approfondit la continuité uniforme avec le théorème de Heine-Cantor et les résultats d'extension. Fait le lien avec l'intégration en montrant que les fonctions uniformément continues sont Riemann-intégrables.

Leçon 1 • Théorème de Taylor et approximation

Établit le théorème de Taylor avec les formes du reste de Lagrange et de Peano. Les étudiants utilisent les approximations polynomiales pour estimer les valeurs des fonctions et analyser le comportement local.

Leçon 2 • Règles de dérivation et dérivées d'ordre supérieur

Démontre rigoureusement les règles de somme, de produit, de quotient et la règle de dérivation en chaîne. Les dérivées d'ordre supérieur sont introduites en préparation aux développements en série de Taylor.

Leçon 3 • Théorèmes des accroissements finis et applications

Démontre le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis et la forme généralisée de Cauchy. Ces théorèmes sous-tendent les tests de monotonie, les majorations d'erreur et la règle de L'Hôpital.

Leçon 4 • Règle de L'Hôpital et formes indéterminées

Démontre la règle de L'Hôpital à l'aide du théorème des accroissements finis de Cauchy et l'applique à toutes les formes indéterminées. Renforce l'interaction entre les limites et les dérivées.

Leçon 1 • Propriétés de l'intégrale de Riemann

Établit la linéarité, la monotonie et l'additivité de l'intégrale sur les sous-intervalles. Ces propriétés sont utilisées à plusieurs reprises dans les chapitres sur les séries et les intégrales impropres.

Leçon 2 • Classes de fonctions intégrables

Démontre que les fonctions continues et monotones sont Riemann-intégrables. Identifie les fonctions avec un nombre fini de discontinuités comme intégrables, élargissant la classe applicable.

Leçon 3 • Intégrales impropres et convergence

Étend l'intégrale de Riemann aux intervalles non bornés et aux intégrandes non bornés. Les tests de convergence pour les intégrales impropres préparent les étudiants aux séries et à l'analyse de Fourier.

Leçon 4 • Partitions, sommes supérieures et inférieures

Définit les partitions, les sommes de Darboux et l'intégrale de Riemann via la construction sup-inf. Ancre l'intégration dans la complétude des réels établie précédemment.

Leçon 1 • Séries, sommes partielles et tests de base

Définit la convergence des séries via les sommes partielles et démontre le test de divergence et la formule des séries géométriques. Relie les séries à la convergence des suites étudiée au chapitre 2.

Leçon 2 • Convergence absolue et conditionnelle

Distingue la convergence absolue de la convergence conditionnelle et démontre le théorème de réarrangement de Riemann. Met en évidence la différence structurelle entre les deux types de convergence.

Leçon 3 • Test du rapport, de la racine et des séries alternées

Établit les tests du rapport et de la racine à l'aide de la limite supérieure et démontre le test des séries alternées. Les étudiants apprennent à sélectionner le test le plus efficace pour une série donnée.

Leçon 4 • Séries entières et rayon de convergence

Définit les séries entières, calcule les rayons de convergence et démontre la dérivation et l'intégration terme à terme. Jette les bases du chapitre sur les fonctions analytiques.

Leçon 1 • Théorèmes de préservation sous convergence uniforme

Démontre que les limites uniformes de fonctions continues sont continues et que les limites et les intégrales s'intervertissent. Ces théorèmes justifient les opérations terme à terme sur les séries.

Leçon 2 • Convergence ponctuelle et uniforme

Définit la convergence ponctuelle et uniforme et les oppose à l'aide d'exemples. La convergence uniforme est identifiée comme la condition nécessaire pour intervertir les limites et les opérations.

Leçon 3 • Théorème d'approximation de Weierstrass

Énonce et démontre le théorème d'approximation de Weierstrass à l'aide des polynômes de Bernstein. Démontre que les fonctions continues sur des intervalles fermés sont uniformément approchables par des polynômes.

Leçon 4 • Fonctions de Taylor et analytiques

Définit les fonctions analytiques comme celles égales à leur série de Taylor et identifie les conditions de validité de la série de Taylor. Étend la théorie de la dérivation aux fonctions indéfiniment dérivables.

Leçon 1 • Compacité dans les espaces métriques

Caractérise la compacité par la compacité séquentielle et la précompacité. Démontre le théorème de Heine-Borel dans l'espace euclidien comme cas particulier.

Leçon 2 • Connexité et applications contractantes

Définit les espaces métriques connexes et connexes par arcs et démontre le théorème du point fixe de Banach. Le principe de contraction a des applications directes dans les équations différentielles.

Leçon 3 • Espaces métriques : définitions et exemples

Introduit les axiomes d'espace métrique et examine les exemples clés incluant les espaces euclidiens, discrets et fonctionnels. Fournit le cadre abstrait qui subsume l'analyse de la droite réelle.

Leçon 4 • Convergence et complétude dans les espaces métriques

Étend les suites de Cauchy et la complétude aux espaces métriques et démontre le théorème de catégorie de Baire. La complétude est présentée comme une propriété métrique, non topologique.