Cours de calcul vectoriel

Leçon 1 • Révision des vecteurs et des systèmes de coordonnées

Établit l'algèbre vectorielle et la géométrie analytique en 3D comme le langage de l'analyse vectorielle. Relie les produits scalaire et vectoriel aux futurs calculs de gradient et de rotationnel.

Leçon 2 • Courbes paramétriques et fonctions vectorielles

Définit les fonctions vectorielles et les représentations paramétriques des courbes. Établit les bases pour les intégrales curvilignes et les calculs de longueur d'arc dans les chapitres suivants.

Leçon 3 • Fonctions de plusieurs variables

Introduit les fonctions scalaires de deux et trois variables et leurs ensembles de définition. Fournit les fondations fonctionnelles nécessaires avant l'introduction de la dérivation.

Leçon 1 • Dérivées partielles : définition et calcul

Définit les dérivées partielles géométriquement et algébriquement pour les fonctions de deux variables ou plus. Ancre le chapitre en établissant l'opération de dérivation fondamentale.

Leçon 2 • Dérivées directionnelles

Étend la dérivation à des directions arbitraires en utilisant la formule du produit scalaire avec le gradient. Développe l'intuition pour les concepts de flux et de taux de variation utilisés dans les chapitres sur l'intégration.

Leçon 3 • Le vecteur gradient

Introduit le gradient comme le vecteur des dérivées partielles et sa signification géométrique. Relie aux dérivées directionnelles et, plus tard, aux champs conservatifs.

Leçon 4 • Plans tangents et approximation linéaire

Dérive l'équation du plan tangent et la différentielle totale pour l'estimation d'erreur. Fournit le cadre de linéarisation locale qui sous-tend la règle de dérivation en chaîne et l'optimisation.

Leçon 1 • Points critiques et test de la dérivée seconde

Identifie les points critiques via la condition de gradient nul et les classifie à l'aide du déterminant de la matrice hessienne. Établit le workflow fondamental de l'optimisation sans contrainte.

Leçon 2 • Extremums absolus sur des régions fermées

Étend l'optimisation aux domaines compacts en combinant les points critiques intérieurs avec l'analyse du bord. Prépare les étudiants aux problèmes contraints en renforçant le raisonnement sur les bords.

Leçon 3 • Multiplicateurs de Lagrange : contrainte unique

Introduit la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour optimiser sous une seule contrainte d'égalité. Relie la géométrie du gradient aux surfaces de contrainte pour une compréhension intuitive.

Leçon 1 • Intégrales triples et systèmes de coordonnées

Introduit les intégrales triples sur des régions 3D en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Relie le choix du système de coordonnées à la symétrie pour l'efficacité du calcul.

Leçon 2 • Intégrales doubles sur des régions rectangulaires

Définit l'intégrale double via les sommes de Riemann et l'évalue en utilisant le théorème de Fubini. Établit la technique d'intégration itérée sur laquelle reposent toutes les intégrations ultérieures.

Leçon 3 • Intégrales doubles en coordonnées polaires

Transforme les intégrales doubles en forme polaire en utilisant le facteur jacobien r. Permet une évaluation efficace sur des régions circulaires et à symétrie radiale.

Leçon 4 • Intégrales doubles sur des régions générales

Étend l'intégration double aux régions non rectangulaires de type I et de type II. Développe la compétence de choix et d'inversion de l'ordre d'intégration pour plus d'efficacité.

Leçon 1 • Introduction aux champs vectoriels

Définit les champs vectoriels comme des affectations de vecteurs à des points et les visualise via des tracés de champ. Établit le contexte physique des champs de force, de vitesse et de flux.

Leçon 2 • Théorème de Green dans le plan

Énonce et applique le théorème de Green pour convertir les intégrales curvilignes en intégrales doubles sur des régions fermées. Fait le pont entre les intégrales curvilignes 2D et les théorèmes de surface et de volume à venir.

Leçon 3 • Intégrales curvilignes de fonctions scalaires

Définit et évalue les intégrales curvilignes de fonctions scalaires par rapport à la longueur d'arc. Relie aux problèmes de masse de fil et de valeur moyenne le long de courbes.

Leçon 4 • Champs conservatifs et fonctions potentielles

Identifie les champs vectoriels conservatifs par l'indépendance du chemin et la condition de rotationnel nul. Développe la technique de recherche de fonctions potentielles pour les champs exacts.

Leçon 1 • Rotationnel : calcul et signification

Calcule le rotationnel d'un champ vectoriel et l'interprète comme une rotation locale ou une densité de circulation. Relie au théorème de Stokes et aux conditions de champ irrotationnel.

Leçon 2 • L'opérateur nabla et ses formes

Introduit l'opérateur nabla et ses trois formes principales : gradient, divergence et rotationnel. Fournit un cadre symbolique unifié pour toutes les opérations différentielles en analyse vectorielle.

Leçon 3 • Divergence : calcul et signification

Calcule la divergence de champs vectoriels et l'interprète comme une force de source ou de puits locale. Relie au théorème de la divergence et aux équations de continuité des fluides.

Leçon 4 • Le laplacien et les fonctions harmoniques

Définit le laplacien comme la divergence du gradient et identifie les fonctions harmoniques. Prépare les étudiants aux applications en théorie du potentiel et aux équations aux dérivées partielles.

Leçon 1 • Intégrales de flux de champs vectoriels

Définit le flux comme l'intégrale de surface d'un champ vectoriel multipliée scalairement par la normale unitaire sortante. Fournit la base physique pour le théorème de la divergence.

Leçon 2 • Paramétrage des surfaces en 3D

Définit les paramétrages de surface à l'aide de deux paramètres et calcule le produit vectoriel des vecteurs tangents. Établit l'élément de surface dS nécessaire pour toutes les intégrales de surface.

Leçon 3 • Le théorème de la divergence

Convertit les intégrales de flux sur des surfaces fermées en intégrales de volume de la divergence. Achève le trio des théorèmes fondamentaux et unifie la théorie de l'intégration du cours.

Leçon 4 • Intégrales de surface de fonctions scalaires

Évalue les intégrales de fonctions scalaires sur des surfaces paramétrées pour la masse et la valeur moyenne. Relie au cadre de l'intégrale double établi dans le chapitre sur les intégrales multiples.

Leçon 1 • Applications en mécanique des fluides

Applique la divergence, le rotationnel et les théorèmes intégraux pour modéliser l'écoulement des fluides incompressibles et irrotationnels. Montre comment l'analyse vectorielle pilote directement la modélisation physique.

Leçon 2 • Relier les trois théorèmes fondamentaux

Unifie le théorème fondamental des intégrales curvilignes, les théorèmes de Green, de Stokes et de la divergence sous un même cadre. Révèle la dualité opérateur-bord commune aux quatre résultats.

Leçon 3 • Problèmes de synthèse et stratégies de démonstration

Présente des problèmes en plusieurs étapes nécessitant la sélection et la combinaison de théorèmes de l'ensemble du cours. Développe la capacité stratégique de résolution de problèmes en tant que compétence finale.

Leçon 4 • Présentation du théorème de Stokes généralisé

Introduit les formes différentielles et la dérivée extérieure pour énoncer le théorème de Stokes généralisé. Apporte une profondeur conceptuelle sans nécessiter les prérequis complets de géométrie différentielle.