Cours de mathématiques appliquées

Leçon 1 • Logique mathématique et techniques de démonstration

Présente la logique propositionnelle, les quantificateurs et les stratégies de démonstration standard. Développe des compétences de raisonnement rigoureux utilisées tout au long du cours.

Leçon 2 • Manipulation algébrique et équations

Renforce l'algèbre polynomiale, rationnelle et exponentielle avec une résolution systématique d'équations. Fournit la maîtrise du calcul nécessaire pour l'analyse et l'algèbre linéaire.

Leçon 3 • Ensembles, relations et fonctions

Définit les ensembles, les applications et les structures relationnelles comme le langage des mathématiques modernes. Se connecte directement aux cadres algébriques et analytiques à venir.

Leçon 4 • Éléments de géométrie analytique

Couvre le plan cartésien, la distance, la pente et les sections coniques. Fait le pont entre la pensée algébrique et géométrique pour les travaux ultérieurs en analyse et en vecteurs.

Leçon 1 • Limites et continuité

Définit rigoureusement les limites et caractérise les fonctions continues. Établit le fondement analytique pour la dérivation et l'intégration.

Leçon 2 • Règles de dérivation et applications

Dérive et applique les règles de puissance, de produit, de quotient et de dérivation en chaîne. Relie les dérivées à l'optimisation, à l'étude de courbes et aux problèmes de taux.

Leçon 3 • Techniques d'intégration

Présente les primitives, le théorème fondamental et les méthodes d'intégration clés. Développe la maîtrise du calcul pour l'aire, l'accumulation et les équations différentielles.

Leçon 4 • Applications de l'intégration

Applique les intégrales définies à l'aire, au volume, à la longueur d'arc et aux grandeurs physiques. Renforce le lien entre l'intégration et la mesure dans le monde réel.

Leçon 1 • Flots de réseau et optimisation

Présente les algorithmes de flot maximal-coupe minimale, de plus court chemin et de couplage sur les graphes. Applique l'optimisation discrète à la logistique, à l'ordonnancement et à l'allocation des ressources.

Leçon 2 • Relations de récurrence et fonctions génératrices

Résout les récurrences linéaires et introduit les fonctions génératrices pour l'analyse de suites. Fait le pont entre la combinatoire, la complexité algorithmique et la programmation dynamique.

Leçon 3 • Fondements de la théorie des graphes

Définit les graphes, les arbres, les chemins et la connectivité avec des algorithmes clés. Relie les structures de graphes à la modélisation de réseaux et aux problèmes d'optimisation.

Leçon 4 • Principes de dénombrement et combinatoire

Couvre les permutations, les combinaisons et le principe d'inclusion-exclusion. Fournit les bases du dénombrement pour les probabilités et l'analyse d'algorithmes.

Leçon 1 • Déterminants et leurs applications

Définit les déterminants via le développement par cofacteurs et les opérations élémentaires. Utilise les déterminants pour évaluer l'inversibilité, calculer des volumes et appliquer la règle de Cramer.

Leçon 2 • Vecteurs et espaces vectoriels

Définit les vecteurs, les combinaisons linéaires, le sous-espace engendré et les bases dans des contextes abstraits et concrets. Fournit le vocabulaire géométrique et algébrique pour tout travail matriciel.

Leçon 3 • Opérations matricielles et systèmes

Couvre le calcul matriciel, la réduction de lignes et la résolution de systèmes linéaires. Relie l'algèbre matricielle aux concepts d'espace vectoriel introduits précédemment.

Leçon 4 • Valeurs propres et vecteurs propres

Dérive les valeurs propres à partir du polynôme caractéristique et interprète géométriquement les vecteurs propres. Prépare les étudiants à la diagonalisation et aux applications spectrales.

Leçon 1 • Dérivées partielles et gradients

Définit les dérivées partielles, les dérivées directionnelles et le vecteur gradient. Relie ces outils à la géométrie des surfaces et aux taux de variation dans plusieurs directions.

Leçon 2 • Fondements de l'analyse vectorielle

Introduit les intégrales curvilignes, les intégrales de surface et les principaux théorèmes intégraux. Relie les champs vectoriels aux concepts physiques tels que le flux et la circulation.

Leçon 3 • Optimisation multivariable

Applique les conditions du second ordre et les multiplicateurs de Lagrange pour localiser les extremums sous contraintes. Étend l'optimisation à une variable aux contextes de dimension supérieure.

Leçon 1 • Distributions discrètes et continues

Couvre les distributions de probabilité clés, notamment binomiale, de Poisson, normale et exponentielle. Relie le choix de la distribution aux processus réels de génération de données.

Leçon 2 • Analyse de régression et de corrélation

Développe des modèles de régression linéaire simple et multiple avec des vérifications diagnostiques. Applique la régression à la prédiction et à la quantification des relations dans des contextes appliqués.

Leçon 3 • Fondements des probabilités

Définit les espaces d'échantillonnage, les événements et les axiomes des probabilités. Établit le cadre formel sous-jacent à tout raisonnement statistique dans le chapitre.

Leçon 4 • Statistiques descriptives et résumés de données

Couvre les mesures de tendance centrale, de dispersion et de forme pour les données univariées et bivariées. Fournit des outils pour résumer les ensembles de données avant l'inférence formelle.

Leçon 1 • Méthodes de transformation de Laplace

Utilise la transformée de Laplace pour convertir les EDO en équations algébriques en vue d'une résolution efficace. Particulièrement utile pour les fonctions de forçage discontinues par morceaux et les applications d'ingénierie.

Leçon 2 • Équations linéaires du second ordre

Résout les EDO homogènes et non homogènes du second ordre à coefficients constants. Modélise les systèmes oscillatoires et amortis courants dans les contextes appliqués.

Leçon 3 • Équations différentielles du premier ordre

Couvre les EDO du premier ordre séparables, linéaires et exactes avec des problèmes de valeurs initiales. Établit les techniques de résolution et l'analyse qualitative pour des modèles dynamiques simples.

Leçon 4 • Systèmes d'équations différentielles

Analyse les systèmes d'EDO couplés à l'aide de méthodes matricielles et de techniques de plan de phase. Relie la théorie des valeurs propres de l'algèbre linéaire au comportement des systèmes dynamiques.

Leçon 1 • Principes de la modélisation mathématique

Définit le cycle de modélisation : identification du problème, définition des hypothèses, formulation et validation. Établit un cadre systématique pour l'application des mathématiques à des problèmes réels.

Leçon 2 • Communication et rapport du modèle

Couvre la rédaction technique, la visualisation et la présentation de résultats mathématiques à divers publics. Prépare les étudiants à fournir des informations exploitables à partir de modèles complexes.

Leçon 3 • Modèles d'optimisation dans la pratique

Applique la programmation linéaire, l'optimisation non linéaire et la programmation en nombres entiers à des scénarios appliqués. Relie l'analyse et les méthodes discrètes à la prise de décision sous contraintes.

Leçon 4 • Systèmes dynamiques et simulation

Modélise les systèmes évoluant dans le temps à l'aide d'EDO, d'équations aux différences et d'approches basées sur les agents. Relie les équations différentielles et les mathématiques discrètes à l'analyse basée sur la simulation.