Cours de mécanique quantique

Leçon 1 • Équations différentielles pour les physiciens

Passe en revue les équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles essentielles pour résoudre l'équation de Schrödinger. Met l'accent sur les conditions aux limites et la séparation des variables.

Leçon 2 • Opérateurs, matrices et valeurs propres

Présente les opérateurs linéaires et leurs représentations matricielles, puis dérive les équations aux valeurs propres. Les valeurs propres deviennent les grandeurs mesurables en théorie quantique.

Leçon 3 • Notions essentielles de probabilités et de statistiques

Établit les distributions de probabilité, les valeurs d'espérance et la variance nécessaires à l'interprétation des résultats de mesure quantique. Soutient directement la règle de Born présentée ensuite.

Leçon 4 • Analyse de Fourier et transformées

Développe les séries de Fourier et la transformée de Fourier comme outils pour passer des représentations de position et de quantité de mouvement. Jette les bases de l'analyse des paquets d'ondes.

Leçon 1 • Notation de Dirac et espace de Hilbert

Formalise la notation bra-ket et la structure de l'espace de Hilbert comme arène des états quantiques. Relie la notation abstraite aux représentations matricielles et fonctionnelles concrètes.

Leçon 2 • Les postulats de la mécanique quantique

Énonce les cinq postulats fondamentaux régissant les vecteurs d'état, les observables, la mesure et l'évolution temporelle. Chaque postulat est lié à un exemple physique concret.

Leçon 3 • Superposition quantique et interférences

Analyse la superposition comme une caractéristique fondamentale distinguant les systèmes quantiques des systèmes classiques. Démontre les interférences à travers l'expérience des fentes d'Young et l'interféromètre de Mach-Zehnder.

Leçon 4 • Principes d'incertitude

Dérive la relation d'incertitude de Heisenberg à partir de l'algèbre des commutateurs d'opérateurs. Étend à la relation d'incertitude généralisée de Robertson pour des observables arbitraires.

Leçon 1 • Oscillateur harmonique quantique

Résout l'oscillateur harmonique à la fois par la méthode de l'équation différentielle et par la méthode algébrique des opérateurs d'échelle. Établit l'énergie du point zéro et les fonctions d'onde polynomiales d'Hermite.

Leçon 2 • États stationnaires et l'équation de Schrödinger indépendante du temps (TISE)

Sépare les variables pour obtenir l'équation de Schrödinger indépendante du temps et définit les états stationnaires. Montre comment les états propres d'énergie forment une base complète pour les solutions générales.

Leçon 3 • Particule dans une boîte

Résout exactement le puits de potentiel infini pour illustrer la quantification, la normalisation et l'orthogonalité. Étend au puits de potentiel fini pour introduire les conditions aux limites de l'effet tunnel.

Leçon 4 • Équation de Schrödinger dépendante du temps

Dérive la TDSE à partir de la correspondance énergie-opérateur et analyse sa structure générale. Établit le courant de probabilité et la continuité comme lois de conservation.

Leçon 1 • Harmoniques sphériques

Construit les harmoniques sphériques comme fonctions propres angulaires et analyse leurs propriétés de symétrie. Fournit la partie angulaire de toutes les fonctions d'onde à potentiel central.

Leçon 2 • Équation de Schrödinger 3D en coordonnées cartésiennes

Généralise la TISE à trois dimensions et résout le problème de la particule dans une boîte 3D. Introduit la dégénérescence comme conséquence de la symétrie spatiale.

Leçon 3 • Potentiel central et équation radiale

Sépare la TISE 3D en parties radiale et angulaire pour tout potentiel central. Résout l'équation radiale pour l'atome d'hydrogène et l'oscillateur harmonique 3D.

Leçon 4 • Opérateurs de moment cinétique

Dérive les opérateurs de moment cinétique orbital et leurs relations de commutation en coordonnées sphériques. Établit les états propres simultanés de L² et Lz.

Leçon 1 • Spin intrinsèque et expérience de Stern-Gerlach

Motive le spin par l'expérience de Stern-Gerlach et définit le spin 1/2 comme un système à deux états. Établit les opérateurs de spin et leurs relations de commutation.

Leçon 2 • Addition des moments cinétiques

Combine deux moments cinétiques en utilisant les coefficients de Clebsch-Gordan et la règle du triangle. Applique le formalisme au couplage spin-orbite et aux systèmes à deux électrons.

Leçon 3 • Moments magnétiques et spin dans les champs

Relie le spin au moment magnétique et analyse la dynamique du spin dans des champs magnétiques externes. Dérive la précession de Larmor et la description quantique de la résonance magnétique.

Leçon 4 • Matrices de Pauli et algèbre du spin 1/2

Présente les matrices de Pauli comme représentation matricielle des opérateurs de spin 1/2. Dérive les probabilités de mesure du spin et les valeurs d'espérance pour des états de spin arbitraires.

Leçon 1 • Indiscernabilité et symétrie d'échange

Établit pourquoi les particules quantiques sont fondamentalement indiscernables et introduit l'opérateur d'échange. Dérive l'exigence de fonctions d'onde symétriques ou antisymétriques.

Leçon 2 • Applications à la matière condensée

Applique les statistiques quantiques au gaz d'électrons libres, aux phonons et à la condensation de Bose-Einstein. Relie les statistiques quantiques microscopiques aux propriétés macroscopiques des matériaux.

Leçon 3 • Distributions statistiques quantiques

Dérive les distributions de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein à partir des contraintes de symétrie et les compare à la statistique de Maxwell-Boltzmann. Introduit le concept de potentiel chimique.

Leçon 4 • Bosons, fermions et théorème spin-statistique

Classe les particules en bosons ou fermions selon leur spin entier ou demi-entier. Énonce le théorème spin-statistique et ses profondes implications physiques.

Leçon 1 • Théorie des perturbations dépendante du temps

Développe la règle d'or de Fermi pour les taux de transition sous des perturbations dépendantes du temps. Applique le résultat à l'absorption, l'émission et les règles de sélection dans les atomes.

Leçon 2 • Approximation WKB

Dérive les fonctions d'onde WKB dans les régions classiquement permises et interdites en utilisant la limite semi-classique. Applique les formules de raccordement à l'effet tunnel et aux conditions de quantification.

Leçon 3 • Principe variationnel et méthode variationnelle

Démontre le théorème variationnel et utilise des fonctions d'onde d'essai pour estimer les énergies de l'état fondamental. Applique la méthode à l'hélium et à des systèmes moléculaires simples.

Leçon 4 • Théorie des perturbations dégénérées

Traite la dégénérescence en diagonalisant la perturbation dans le sous-espace dégénéré. Applique la méthode à l'effet Stark et à l'effet Zeeman dans l'hydrogène.

Leçon 1 • Algorithmes quantiques et correction d'erreurs

Présente les algorithmes de recherche de Grover et de factorisation de Shor comme démonstrations de l'avantage quantique. Introduit les codes stabilisateurs comme fondement de la correction d'erreurs quantique.

Leçon 2 • Inégalités de Bell et non-localité quantique

Dérive les inégalités de Bell comme tests des théories à variables cachées locales et interprète les violations expérimentales. Établit la non-localité quantique comme un phénomène physique vérifié.

Leçon 3 • Intrication quantique

Définit l'intrication par la non-séparabilité des états des systèmes composites et la quantifie à l'aide de mesures d'entropie. Analyse les états de Bell et leur rôle dans les corrélations quantiques.

Leçon 4 • Formalisme de la matrice densité

Présente l'opérateur densité comme la description générale des états quantiques purs et mixtes. Dérive l'équation de von Neumann comme l'analogue de l'équation de Schrödinger pour la matrice densité.