Cours de calcul appliqué avec Python

Leçon 1 • Configuration de l'environnement Python

Installez Python, Jupyter, NumPy, SymPy et Matplotlib. Cette chaîne d'outils soutient chaque exercice de calcul numérique du cours.

Leçon 2 • Syntaxe Python pour le travail mathématique

Couvre les variables, les boucles, les fonctions et les compréhensions de listes appliquées au calcul numérique. Ces constructions traduisent la notation mathématique en code exécutable.

Leçon 3 • Expressions algébriques avec SymPy

Utilisez les symboles SymPy pour construire, simplifier et factoriser des expressions algébriques. La manipulation symbolique est la passerelle vers le calcul analytique en Python.

Leçon 4 • Tableaux numériques avec NumPy

Créez et manipulez des tableaux NumPy pour évaluer des fonctions sur des intervalles. Le calcul basé sur les tableaux est l'épine dorsale numérique des workflows d'analyse appliquée.

Leçon 1 • Continuité et discontinuités

Définissez formellement la continuité et classifiez les discontinuités apparentes, de saut et infinies. Des scripts Python détectent et visualisent les discontinuités dans des fonctions réelles.

Leçon 2 • Le concept de limite

Introduisez les définitions informelle et formelle d'une limite à l'aide de tableaux et de graphiques. L'exploration numérique en Python construit l'intuition avant les méthodes symboliques.

Leçon 3 • Calcul de limites avec SymPy

Appliquez la fonction limite de SymPy pour évaluer des limites analytiques, y compris les formes indéterminées. Les résultats symboliques sont vérifiés par rapport aux approximations numériques.

Leçon 1 • Dérivées de fonctions particulières

Dérivez les fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques. SymPy les traite de manière analytique tandis que NumPy les évalue numériquement.

Leçon 2 • Règles de base de la dérivation

Appliquez les règles de puissance, de constante, de somme et de différence pour dériver des polynômes. La fonction diff de SymPy automatise et vérifie les calculs manuels.

Leçon 3 • Dérivation implicite et numérique

Dérivez des relations définies implicitement et appliquez des schémas de différences finies numériquement. Ces techniques traitent les fonctions qui ne peuvent pas être résolues explicitement.

Leçon 4 • Règles du produit, du quotient et de la dérivation en chaîne

Étendez la dérivation aux produits, quotients et fonctions composées. Ces règles traitent la majorité des fonctions rencontrées dans les problèmes appliqués.

Leçon 1 • Optimisation avec les dérivées

Trouvez les extremums absolus et locaux en utilisant les points critiques et l'analyse des bornes. SymPy résout les équations dérivées tandis que SciPy minimize valide les résultats.

Leçon 2 • Règle de L'Hôpital et analyse asymptotique

Résolvez les limites indéterminées à l'aide de la règle de L'Hôpital et analysez le comportement asymptotique. SymPy automatise l'application répétée et confirme les asymptotes graphiques.

Leçon 3 • Fonctions croissantes, décroissantes et concavité

Utilisez les dérivées première et seconde pour déterminer le comportement et la concavité d'une fonction. Des tracés Python annotés avec des caractéristiques critiques renforcent les conclusions analytiques.

Leçon 4 • Problèmes de taux liés

Dérivez des équations à plusieurs variables par rapport au temps pour lier des quantités en changement. Python simule des scénarios dynamiques et trace les relations de taux.

Leçon 1 • Le théorème fondamental de l'analyse

Énoncez et appliquez les deux parties du théorème fondamental pour relier dérivation et intégration. SymPy illustre le théorème de manière symbolique sur des exemples concrets.

Leçon 2 • Sommes de Riemann et intégrale définie

Approximez l'aire sous une courbe à l'aide des sommes de Riemann à gauche, à droite et au milieu. Les boucles Python et la vectorisation NumPy rendent le comportement de convergence visible.

Leçon 3 • Règles et formules d'intégration de base

Appliquez les règles de primitive pour les puissances, les exponentielles et les fonctions trigonométriques. SymPy valide chaque résultat et met en évidence les pièges courants tels que les constantes manquantes.

Leçon 4 • Intégration par substitution

Appliquez la substitution u pour transformer les intégrales en formes plus simples. Les outils de substitution de SymPy automatisent la technique pour les intégrandes composés complexes.

Leçon 1 • Valeur moyenne et théorème de la moyenne

Calculez la valeur moyenne d'une fonction et localisez le point de valeur moyenne garanti. Ces concepts apparaissent dans le traitement du signal et le calcul de moyennes statistiques.

Leçon 2 • Volumes des solides de révolution

Appliquez les méthodes des disques, des rondelles et des coques pour calculer les volumes de solides obtenus par rotation. Des tracés tridimensionnels Matplotlib rendent la géométrie concrète.

Leçon 3 • Longueur d'arc et aire surfacique

Dérivez et évaluez les intégrales de longueur d'arc et d'aire surfacique pour les courbes lisses. La fonction quad de SciPy traite les intégrandes qui résistent aux primitives symboliques.

Leçon 4 • Accumulation et variation nette

Interprétez l'intégrale comme un changement accumulé dans les modèles de vitesse, de population et de coût. Python simule l'accumulation de séries temporelles et la compare aux résultats analytiques.

Leçon 1 • Dérivées partielles et gradients

Calculez les dérivées partielles de manière symbolique avec SymPy et assemblez le vecteur gradient. La signification géométrique du gradient comme direction de plus grande pente est visualisée à l'aide de graphiques à flèches.

Leçon 2 • Fonctions de plusieurs variables

Définissez et visualisez des champs scalaires à l'aide de courbes de niveau et de graphiques de surface 3D. La compréhension de la géométrie des fonctions multivariables précède les techniques analytiques.

Leçon 3 • Dérivées directionnelles et règle de dérivation en chaîne

Calculez les dérivées directionnelles et appliquez la règle de dérivation en chaîne multivariable aux fonctions composées. Ces outils modélisent la sensibilité le long de directions arbitraires dans l'espace des paramètres.

Leçon 4 • Optimisation des fonctions multivariables

Trouvez les points critiques à l'aide du gradient et classez-les avec le test de la dérivée seconde. La fonction minimize de SciPy étend l'optimisation aux problèmes contraints et de grande dimension.

Leçon 1 • Solveurs d'EDO numériques

Implémentez la méthode d'Euler et utilisez solve_ivp de SciPy pour des solutions numériques précises. La comparaison des méthodes révèle les compromis entre simplicité et précision.

Leçon 2 • EDO linéaires du premier ordre et à variables séparables

Résolvez des EDO à variables séparables par séparation des variables et des EDO linéaires avec des facteurs intégrants. La fonction dsolve de SymPy automatise les deux méthodes et renvoie les solutions générales.

Leçon 3 • Systèmes d'équations différentielles

Modélisez des systèmes dynamiques couplés tels que les modèles proie-prédateur et compartimentaux. solve_ivp de SciPy gère les EDO vectorielles et les graphiques de plan de phase révèlent le comportement.

Leçon 4 • Calcul dans la modélisation appliquée

Intégrez les outils du calcul dans des modèles appliqués complets, des données à l'équation différentielle jusqu'à la compréhension. Des mini-projets de synthèse consolident toutes les compétences du cours.