Cours sur les méthodes numériques

Leçon 1 • Stabilité des algorithmes et conditionnement

Définit la stabilité numérique et les nombres de conditionnement pour les problèmes. Prépare les étudiants à évaluer la fiabilité d'un algorithme avant sa mise en œuvre.

Leçon 2 • Configuration de l'environnement de programmation

Configure un environnement de calcul scientifique utilisant un langage de haut niveau. Garantit que tous les étudiants peuvent implémenter et tester les algorithmes à partir du chapitre deux.

Leçon 3 • Complexité algorithmique et efficacité

Introduit la notation Grand-O et le comptage d'opérations pour les algorithmes numériques. Permet la comparaison du coût entre des méthodes concurrentes.

Leçon 4 • Représentation des nombres en virgule flottante

Explique la norme IEEE 754 et l'epsilon machine. Relie les limites de représentation à la perte de précision pratique dans les calculs.

Leçon 1 • Méthode de dichotomie et méthodes par encadrement

Couvre la méthode de dichotomie et ses propriétés de convergence garantie. Introduit le concept d'encadrement comme base pour des solveurs de racines plus avancés.

Leçon 2 • Systèmes d'équations non linéaires

Étend la recherche de racines scalaire aux systèmes multivariés en utilisant la méthode de Newton avec les Jacobiennes. Prépare les étudiants aux problèmes non linéaires dans les chapitres appliqués ultérieurs.

Leçon 3 • Méthodes de la sécante et quasi-Newton

Présente des alternatives sans dérivée à la méthode de Newton. Compare la convergence superlinéaire au coût de l'évaluation de la dérivée.

Leçon 4 • Itération de point fixe

Reformule les équations comme des problèmes de point fixe et analyse la convergence. Développe l'intuition pour les schémas itératifs utilisés dans les chapitres suivants.

Leçon 1 • Élimination de Gauss et substitution rétrograde

Implémente la réduction de lignes à la forme triangulaire supérieure et la substitution rétrograde. Établit le solveur direct de référence pour toutes les méthodes matricielles ultérieures.

Leçon 2 • Méthodes itératives pour les systèmes linéaires

Présente les méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et du gradient conjugué pour les grands systèmes creux. Analyse les critères de convergence et compare le coût avec les méthodes directes.

Leçon 3 • Structures matricielles spéciales

Exploite la symétrie, la définie positivité et la structure creuse pour réduire le coût de calcul. Introduit la factorisation de Cholesky et les solveurs pour matrices à bandes.

Leçon 4 • Normes matricielles et nombres de conditionnement

Quantifie la sensibilité de la solution à l'aide de normes matricielles et de nombres de conditionnement. Applique directement les concepts d'analyse d'erreur du chapitre un aux systèmes linéaires.

Leçon 1 • Interpolation par splines cubiques

Construit des splines cubiques par morceaux avec des conditions de continuité. Démontre une meilleure régularité que les polynômes globaux de degré élevé.

Leçon 2 • Analyse de l'erreur d'interpolation

Dérive la borne d'erreur d'interpolation et identifie le phénomène de Runge. Motive l'utilisation des nœuds de Tchebychev pour minimiser l'erreur maximale.

Leçon 3 • Interpolation d'Hermite et osculatrice

Étend l'interpolation pour correspondre aux valeurs des dérivées aux nœuds. Fournit la base théorique pour la construction de splines cubiques dans la section suivante.

Leçon 4 • Techniques d'interpolation multivariée

Étend l'interpolation aux grilles bidimensionnelles à l'aide de méthodes bilinéaires et bicubiques. Prépare les étudiants aux applications en EDP numériques et en science des données.

Leçon 1 • Quadrature de Gauss

Sélectionne des paires nœud-poids optimales pour maximiser l'exactitude polynomiale. Démontre une précision supérieure à celle de Newton-Cotes pour les intégrandes réguliers.

Leçon 2 • Extrapolation de Richardson et intégration de Romberg

Applique l'extrapolation de Richardson pour éliminer systématiquement les termes d'erreur principaux. Construit la table de Romberg pour une intégration de haute précision avec un minimum d'évaluations de fonction.

Leçon 3 • Formules de différences finies

Dérive les approximations par différences avant, arrière et centrées à partir des séries de Taylor. Établit la précision du premier et du second ordre pour l'estimation des dérivées.

Leçon 4 • Formules de quadrature de Newton-Cotes

Développe les règles du trapèze, de Simpson et de Newton-Cotes d'ordre supérieur. Dérive les formes composites et leurs termes d'erreur pour l'intégration pratique.

Leçon 1 • Systèmes d'EDOs et équations d'ordre supérieur

Convertit les EDO d'ordre supérieur en systèmes du premier ordre et applique des solveurs vectoriels. Prépare les étudiants aux semi-discrétisations d'EDP couplées dans le chapitre suivant.

Leçon 2 • Méthodes de Runge-Kutta

Développe la méthode RK4 classique et sa famille à travers les tableaux de Butcher. Équilibre la précision et le coût d'évaluation des fonctions pour les problèmes non raides.

Leçon 3 • Méthodes à pas multiples

Présente les schémas de prédicteur-correcteur d'Adams-Bashforth et d'Adams-Moulton. Compare l'efficacité avec les méthodes à un pas pour l'intégration à long terme de problèmes réguliers.

Leçon 4 • Analyse de stabilité et systèmes raides

Définit les régions de stabilité absolue et identifie les EDO raides. Motive l'utilisation de solveurs implicites tels que les formules de différenciation rétrograde pour les problèmes raides.

Leçon 1 • Différences finies pour les EDP paraboliques

Applique des schémas explicites et implicites à l'équation de la chaleur. Dérive la méthode de Crank-Nicolson et sa précision du second ordre en temps et en espace.

Leçon 2 • Classification et discrétisation des EDPs

Classe les EDP en elliptiques, paraboliques ou hyperboliques et choisit des stratégies de discrétisation appropriées. Relie les méthodes d'ODE du chapitre six à la méthode des lignes.

Leçon 3 • EDP hyperboliques et équations d'onde

Résout les équations d'advection et d'onde à l'aide des schémas upwind et de Lax-Wendroff. Analyse la diffusion et la dispersion numériques comme mesures clés de la précision.

Leçon 4 • Introduction à la méthode des éléments finis

Introduit la formulation faible et la méthode des éléments finis de Galerkin pour les problèmes aux limites 1D. Fournit un pont conceptuel vers les cours avancés de FEM.

Leçon 1 • Optimisation contrainte et non linéaire

Introduit les multiplicateurs de Lagrange, les méthodes de pénalité et la programmation quadratique séquentielle. Prépare les étudiants à résoudre des problèmes de conception technique et d'ajustement de données avec contraintes.

Leçon 2 • Décomposition en valeurs singulières

Calcule la SVD et l'applique à la détermination du rang, la pseudo-inverse et la compression de données. Fournit l'outil le plus robuste pour les problèmes de moindres carrés mal conditionnés.

Leçon 3 • Factorisation QR et méthodes orthogonales

Décompose les matrices via Gram-Schmidt et les réflexions de Householder pour des moindres carrés stables. Démontre une stabilité numérique supérieure à celle des équations normales.

Leçon 4 • Méthodes d'optimisation sans contraintes

Applique la descente de gradient, la méthode de Newton et les mises à jour quasi-Newton pour minimiser des fonctions lisses. Analyse les vitesses de convergence et les stratégies de recherche linéaire.