Curso de Processos Estocásticos

Aula 1 • Esperança e Momentos

Define a esperança baseada na integração de Lebesgue e os funcionais de momento. Estas ferramentas quantificam o comportamento médio e a variabilidade em modelos estocásticos.

Aula 2 • Medidas de Probabilidade e Axiomas

Apresenta os axiomas de Kolmogorov e a probabilidade teórica das medidas. Fornece a base rigorosa para todas as afirmações probabilísticas em capítulos posteriores.

Aula 3 • Conceitos de Convergência em Probabilidade

Distingue convergência quase certa, em probabilidade e em média quadrática. Prepara os estudantes para analisar o comportamento limite de sucessões estocásticas.

Aula 4 • Variáveis Aleatórias e Distribuições

Aborda variáveis aleatórias discretas e contínuas e as suas distribuições. Liga a teoria abstrata da medida à modelação probabilística prática.

Aula 1 • Definição e Classificação de Processos

Formaliza um processo estocástico como uma família indexada de variáveis aleatórias. A classificação por tempo e espaço de estados discretos ou contínuos orienta a seleção do modelo.

Aula 2 • Estacionaridade e Ergodicidade

Define estacionaridade estrita e em sentido lato e propriedades ergódicas. Estes conceitos sustentam a análise de séries temporais e os cálculos de médias de longo prazo.

Aula 3 • Distribuições Finito-Dimensionais

Caracteriza processos através das suas famílias de distribuições finito-dimensionais. O teorema de consistência de Kolmogorov garante a existência de processos bem definidos.

Aula 1 • Classificação de Estados

Classifica estados como transitórios, recorrentes ou absorventes com base em probabilidades de retorno. A classificação determina a ocupação de longo prazo e os resultados de absorção.

Aula 2 • Análise de Absorção e Primeira Passagem

Calcula probabilidades de absorção e tempos esperados de atingimento usando sistemas lineares. Estes cálculos são essenciais para aplicações de fiabilidade e filas de espera.

Aula 3 • Distribuições Estacionárias e Limite

Deriva condições para existência e unicidade de distribuições estacionárias. Liga a teoria ergódica a interpretações de frequência de longo prazo.

Aula 4 • Reversibilidade e Equilíbrio Detalhado

Apresenta cadeias reversíveis no tempo e a condição de equilíbrio detalhado. A reversibilidade simplifica o cálculo da distribuição estacionária em redes complexas.

Aula 1 • Definição e Propriedades do Processo de Poisson

Caracteriza o processo de Poisson através de incrementos independentes e contagens com distribuição de Poisson. Três definições equivalentes são comparadas para flexibilidade de modelação.

Aula 2 • Teorema da Recompensa da Renovação e Aplicações

Aplica o teorema da recompensa da renovação para calcular recompensas médias de longo prazo por unidade de tempo. Aborda a otimização de políticas de inventário, manutenção e substituição.

Aula 3 • Fundamentos da Teoria da Renovação

Define processos de renovação e deriva a equação de renovação e o teorema elementar da renovação. Fornece o enquadramento assintótico para a análise de taxas de longo prazo.

Aula 4 • Sobreposição e Desbaste

Deriva regras para combinar e dividir processos de Poisson. Estas operações modelam o encaminhamento, a multiplexagem e a amostragem aleatória de fluxos de eventos.

Aula 1 • Distribuições Estacionárias e Ergodicidade

Generaliza a teoria ergódica de tempo discreto para contextos de tempo contínuo. São estabelecidas condições para recorrência positiva e distribuições estacionárias únicas.

Aula 2 • Matriz Geradora e Equações de Kolmogorov

Define o gerador infinitesimal e deriva as equações progressivas e regressivas. Estas equações diferenciais regem a evolução das probabilidades de transição.

Aula 3 • Tempos de Permanência Exponenciais e Taxas

Estabelece que tempos de permanência sem memória seguem distribuições exponenciais. Esta propriedade permite a formulação baseada no gerador de cadeias em tempo contínuo.

Aula 4 • Processos de Nascimento-Morte

Analisa cadeias com transições apenas para estados adjacentes, abrangendo modelos de população e filas de espera. Distribuições estacionárias de forma fechada são derivadas via equilíbrio detalhado.

Aula 1 • Definição e Exemplos de Martingais

Define martingais, submartingais e supermartingais com exemplos canónicos. Reconhecer a estrutura de martingal permite atalhos analíticos poderosos.

Aula 2 • Esperança Condicional e Filtrações

Define esperança condicional rigorosamente e introduz filtrações como fluxos de informação. Estes conceitos fundamentam a definição formal de martingais.

Aula 3 • Tempos de Paragem e Teorema da Paragem Opcional

Define tempo de paragem e enuncia condições para o teorema da paragem opcional. Aplica o teorema para calcular tempos esperados de saída e probabilidades de ruína.

Aula 4 • Teoremas de Convergência de Martingais

Apresenta a desigualdade das ultrapassagens de Doob e o teorema da convergência quase certa. Estes resultados estabelecem quando os limites dos martingais existem e são integráveis.

Aula 1 • Propriedades de Markov e de Martingal

Prova que o movimento Browniano é tanto um processo de Markov como um martingal. Deriva martingais chave incluindo o martingal exponencial e o martingal quadrático browniano.

Aula 2 • Processos Gaussianos e Núcleos de Covariância

Define processos gaussianos através das suas distribuições gaussianas finito-dimensionais. A seleção do núcleo de covariância determina a suavidade e a estrutura de correlação.

Aula 3 • Construção do Movimento Browniano

Constrói o movimento Browniano via a medida de Wiener e a construção de Lévy-Ciesielski. Estabelece a existência de um processo com trajetórias contínuas e incrementos independentes.

Aula 4 • Propriedades das Trajetórias Amostrais do Movimento Browniano

Analisa a variação quadrática, a continuidade de Hölder e a lei do logaritmo iterado. Estas propriedades das trajetórias são essenciais para o desenvolvimento do cálculo estocástico.

Aula 1 • Teorema de Girsanov e Mudança de Medida

Enuncia o teorema de Girsanov para alterar a deriva via uma medida de probabilidade equivalente. Este resultado é fundamental para a precificação neutra ao risco e métodos de razão de verosimilhança.

Aula 2 • Métodos Numéricos para EDEs

Apresenta os esquemas de Euler-Maruyama e Milstein para simular soluções de EDEs. Analisa ordens de convergência forte e fraca para controlo prático de erros.

Aula 3 • Equações Diferenciais Estocásticas

Formula EDEs e estabelece existência e unicidade sob condições de Lipschitz. Aborda EDEs lineares e o processo de Ornstein-Uhlenbeck como exemplos canónicos.

Aula 4 • Fórmula de Ito e Mudança de Variáveis

Deriva a fórmula de Ito como a regra da cadeia estocástica para funções duas vezes diferenciáveis. Aplica a fórmula para calcular a dinâmica de processos transformados.