Kurs Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lektion 1 • Axiome und grundlegende Eigenschaften

Stellt Kolmogorows drei Axiome vor und leitet daraus grundlegende Regeln ab. Die Studierenden nutzen diese Regeln, um Wahrscheinlichkeiten rigoros zu überprüfen und zu berechnen.

Lektion 2 • Mengen, Ergebnisse und Ergebnismengen

Führt die mengentheoretische Notation und das Konzept der Ergebnismenge als Universum aller Ergebnisse ein. Legt das für alle Wahrscheinlichkeitsberechnungen verwendete Vokabular fest.

Lektion 3 • Definition und Messung von Wahrscheinlichkeit

Behandelt die klassische, frequentistische und subjektive Interpretation von Wahrscheinlichkeit. Verbindet jede Interpretation mit realen Messkontexten.

Lektion 1 • Multiplikationsregel und Kettenregel

Leitet die Multiplikationsregel aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ab. Erweitert sie auf Ketten von mehreren abhängigen Ereignissen.

Lektion 2 • Satz von Bayes und Aktualisierung von Überzeugungen

Leitet den Satz von Bayes her und wendet ihn auf umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeiten an. Die Studierenden aktualisieren Vorwissen mit neuen Erkenntnissen in strukturierten Aufgaben.

Lektion 3 • Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

Führt Zerlegungen der Ergebnismenge und die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ein. Bietet die Grundlage, die für die Herleitung des Satzes von Bayes benötigt wird.

Lektion 4 • Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

Definiert P(A|B) als Verhältnis und erklärt, wie die Bedingung die Ergebnismenge einschränkt. Bildet die konzeptionelle Brücke vom unbedingten zum bedingten Denken.

Lektion 1 • Erwartungswert und Varianz

Leitet den Erwartungswert als wahrscheinlichkeitsgewichteten Durchschnitt und die Varianz als Streuung her. Begründet die Linearität des Erwartungswerts und seine rechnerische Leistungsfähigkeit.

Lektion 2 • Poisson-Verteilung

Leitet die Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung für seltene Ereignisse her. Die Studierenden wenden sie auf Zähldaten an und überprüfen die Bedingungen der Poisson-Approximation.

Lektion 3 • Geometrische und negative Binomialverteilung

Modelliert Wartezeiten bis zum Erfolg mit der geometrischen und der negativen Binomialverteilung. Verbindet diese mit der Gedächtnislosigkeit geometrischer Versuche.

Lektion 4 • Bernoulli- und Binomialverteilung

Modelliert binäre Versuche mit Bernoulli-Variablen und wiederholte Versuche mit der Binomialverteilung. Die Studierenden leiten die Wahrscheinlichkeitsfunktion, den Mittelwert und die Varianzformeln her und wenden sie an.

Lektion 1 • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen

Definiert die PDF und erklärt, warum Punktwahrscheinlichkeiten für stetige Variablen null sind. Verbindet die PDF durch Integration mit der Verteilungsfunktion.

Lektion 2 • Gleich- und Exponentialverteilung

Führt die Gleichverteilung für gleichwahrscheinliche Intervalle und die Exponentialverteilung für Wartezeiten ein. Hebt die Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung hervor.

Lektion 3 • Weitere wichtige stetige Verteilungen

Bietet einen Überblick über Gamma-, Beta- und Lognormalverteilung und ihre Parameterrollen. Bereitet die Studierenden darauf vor, geeignete Modelle für verschiedene Datenformen zu erkennen und auszuwählen.

Lektion 4 • Erwartungswert und Varianz für stetige Variablen

Passt die Formeln für Erwartungswert und Varianz für stetige Verteilungen an Integrale an. Verstärkt die Momentenberechnung als einheitlichen Rahmen über Variablentypen hinweg.

Lektion 1 • Bedingte Verteilungen

Erweitert die bedingte Wahrscheinlichkeit auf vollständige bedingte Verteilungen einer Variablen gegeben eine andere. Stellt die Verbindung zu früheren Konzepten des Satzes von Bayes in einem verteilungstheoretischen Rahmen her.

Lektion 2 • Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Definiert gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Dichtefunktionen für Paare von Zufallsvariablen. Die Studierenden extrahieren marginale Verteilungen durch Summation oder Integration über eine Variable.

Lektion 3 • Transformationen von Zufallsvariablen

Leitet Verteilungen von Funktionen einer oder mehrerer Zufallsvariablen her. Behandelt die Technik des Variablenwechsels und die Jacobi-Matrix für stetige Fälle.

Lektion 4 • Multivariate Normalverteilung

Führt die bivariate und multivariate Normalverteilung und ihre Kovarianzmatrix ein. Die Studierenden interpretieren marginale und bedingte Normalverteilungen und ihre geometrische Bedeutung.

Lektion 1 • Konvergenzarten

Unterscheidet Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, fast sichere Konvergenz und Konvergenz in Verteilung. Klärt die Hierarchie und Beziehungen zwischen diesen Konvergenzarten.

Lektion 2 • Momenterzeugende Funktionen

Führt MGFs als Werkzeug zur Herleitung von Momenten und zum Beweis verteilungstheoretischer Ergebnisse ein. Die Studierenden verwenden MGFs, um den CLT zu begründen und Verteilungen zu identifizieren.

Lektion 3 • Zentraler Grenzwertsatz

Beweist, dass standardisierte Stichprobenmittelwerte gegen eine Normalverteilung konvergieren. Die Studierenden wenden den CLT an, um Wahrscheinlichkeiten für Summen und Mittelwerte zu approximieren.

Lektion 4 • Ungleichungen und Wahrscheinlichkeitsschranken

Leitet die Markov- und die Tschebyscheff-Ungleichung als Werkzeuge zur Beschränkung von Endwahrscheinlichkeiten her. Liefert rigorose Schranken, ohne die Kenntnis der vollständigen Verteilung zu erfordern.

Lektion 1 • Konfidenzintervalle

Konstruiert Konfidenzintervalle für Mittelwerte und Anteile unter Verwendung von Stichprobenverteilungen. Die Studierenden interpretieren die Überdeckungswahrscheinlichkeit und die Zielkonflikte der Intervallbreite.

Lektion 2 • Gängige parametrische Tests

Wendet den Rahmen der Hypothesentests auf z-Tests, t-Tests und Chi-Quadrat-Tests an. Verbindet jeden Test mit seinem zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsmodell.

Lektion 3 • Stichprobenverteilungen

Leitet die Verteilungen von Stichprobenstatistiken wie dem Mittelwert und der Varianz her. Führt Chi-Quadrat-, t- und F-Verteilung als Werkzeuge für die Inferenz ein.

Lektion 4 • Punktschätzung

Definiert Schätzereigenschaften wie Erwartungstreue, Konsistenz und Effizienz. Die Studierenden wenden die Momentenmethode und die Maximum-Likelihood-Schätzung an.

Lektion 1 • Grundlagen der Warteschlangentheorie

Modelliert Warteschlangen unter Verwendung von M/M/1- und M/M/c-Warteschlangenstrukturen. Die Studierenden berechnen die durchschnittliche Schlangenlänge, Wartezeit und Serverauslastung.

Lektion 2 • Stationäre Verteilungen und Langzeitverhalten

Leitet stationäre Verteilungen und Bedingungen für ihre Existenz und Eindeutigkeit her. Die Studierenden interpretieren Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten in angewandten Umgebungen.

Lektion 3 • Poisson-Prozesse

Definiert den Poisson-Prozess durch seine Zähl- und Zwischenankunftseigenschaften. Die Studierenden leiten Verteilungen der Ankunftszeiten her und wenden den Prozess auf reale Systeme an.

Lektion 4 • Zuverlässigkeits- und Überlebensanalyse

Wendet Exponential- und Weibull-Verteilung an, um Komponentenlebensdauern zu modellieren. Die Studierenden berechnen Ausfallraten, Überlebensfunktionen und Systemzuverlässigkeit.

Lektion 5 • Diskrete Markov-Ketten

Führt die Markov-Eigenschaft und Matrizen der Übergangswahrscheinlichkeiten ein. Die Studierenden berechnen mehrstufige Übergangswahrscheinlichkeiten und klassifizieren Zustände.