Curso de cálculo aplicado con Python

Lección 1 • Configuración del entorno de Python

Instala Python, Jupyter, NumPy, SymPy y Matplotlib. Esta cadena de herramientas sustenta cada ejercicio computacional del curso.

Lección 2 • Sintaxis de Python para trabajo matemático

Cubre variables, bucles, funciones y comprensiones de listas aplicados al cálculo numérico. Estas construcciones traducen la notación matemática a código ejecutable.

Lección 3 • Expresiones algebraicas con SymPy

Usa símbolos de SymPy para construir, simplificar y factorizar expresiones algebraicas. La manipulación simbólica es la puerta de entrada al cálculo analítico en Python.

Lección 4 • Arreglos numéricos con NumPy

Crea y opera con arreglos de NumPy para evaluar funciones en intervalos. La computación basada en arreglos es la columna vertebral numérica de los flujos de trabajo de cálculo aplicado.

Lección 1 • Continuidad y discontinuidades

Define la continuidad formalmente y clasifica las discontinuidades evitables, de salto e infinitas. Los scripts de Python detectan y visualizan discontinuidades en funciones reales.

Lección 2 • El concepto de límite

Introduce las definiciones informal y formal de límite mediante tablas y gráficas. La exploración numérica en Python construye la intuición antes de los métodos simbólicos.

Lección 3 • Cálculo de límites con SymPy

Aplica la función limit de SymPy para evaluar límites analíticos, incluyendo formas indeterminadas. Los resultados simbólicos se verifican con aproximaciones numéricas.

Lección 1 • Derivadas de funciones especiales

Diferencia funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. SymPy las maneja analíticamente mientras NumPy las evalúa numéricamente.

Lección 2 • Reglas básicas de diferenciación

Aplica las reglas de la potencia, la constante, la suma y la diferencia para derivar polinomios. La función diff de SymPy automatiza y verifica los cálculos manuales.

Lección 3 • Diferenciación implícita y numérica

Diferencia relaciones definidas implícitamente y aplica esquemas de diferencias finitas de forma numérica. Estas técnicas manejan funciones que no pueden resolverse explícitamente.

Lección 4 • Reglas del producto, del cociente y de la cadena

Extiende la diferenciación a productos, cocientes y funciones compuestas. Estas reglas manejan la mayoría de las funciones encontradas en problemas aplicados.

Lección 1 • Optimización con derivadas

Encuentra extremos absolutos y locales usando puntos críticos y análisis de frontera. SymPy resuelve las ecuaciones de la derivada mientras que minimize de SciPy valida los resultados.

Lección 2 • Regla de L'Hôpital y análisis asintótico

Resuelve límites indeterminados usando la regla de L'Hôpital y analiza el comportamiento asintótico. SymPy automatiza la aplicación repetida y confirma las asíntotas gráficas.

Lección 3 • Crecimiento, decrecimiento y concavidad

Usa la primera y segunda derivada para determinar el comportamiento de la función y la concavidad. Las gráficas de Python anotadas con características críticas refuerzan los hallazgos analíticos.

Lección 4 • Problemas de tasas relacionadas

Diferencia ecuaciones de varias variables con respecto al tiempo para vincular cantidades cambiantes. Python simula escenarios dinámicos y representa las relaciones entre tasas.

Lección 1 • El teorema fundamental del cálculo

Enuncia y aplica ambas partes del Teorema Fundamental para conectar la diferenciación y la integración. SymPy demuestra el teorema simbólicamente en ejemplos concretos.

Lección 2 • Sumas de Riemann y la integral definida

Aproxima el área bajo una curva usando sumas de Riemann por la izquierda, por la derecha y por el punto medio. Los bucles de Python y la vectorización de NumPy hacen visible el comportamiento de convergencia.

Lección 3 • Reglas y fórmulas básicas de integración

Aplica las reglas de antiderivadas de potencias, exponenciales y trigonométricas. SymPy valida cada resultado y destaca errores comunes como la omisión de constantes.

Lección 4 • Integración por sustitución

Aplica la sustitución u para transformar integrales en formas más simples. Las herramientas de sustitución de SymPy automatizan la técnica para integrandos compuestos complejos.

Lección 1 • Valor medio y teorema del valor medio

Calcula el valor medio de una función y localiza el punto garantizado por el teorema del valor medio. Estos conceptos aparecen en procesamiento de señales y promedios estadísticos.

Lección 2 • Volúmenes de sólidos de revolución

Aplica los métodos de discos, arandelas y capas para calcular volúmenes de sólidos de revolución. Las gráficas tridimensionales de Matplotlib concretan la geometría.

Lección 3 • Longitud de arco y área superficial

Deduce y evalúa integrales de longitud de arco y área superficial para curvas suaves. quad de SciPy maneja integrandos que resisten antiderivadas simbólicas.

Lección 4 • Acumulación y cambio neto

Interpreta la integral como cambio acumulado en modelos de velocidad, población y coste. Python simula la acumulación en series temporales y la compara con resultados analíticos.

Lección 1 • Derivadas parciales y gradientes

Calcula derivadas parciales simbólicamente con SymPy y construye el vector gradiente. El significado geométrico del gradiente como ascenso más pronunciado se visualiza con gráficas de campo vectorial (quiver).

Lección 2 • Funciones de varias variables

Define y visualiza campos escalares usando gráficas de contorno y superficies 3D. Comprender la geometría de funciones multivariables precede a las técnicas analíticas.

Lección 3 • Derivadas direccionales y la regla de la cadena

Calcula derivadas direccionales y aplica la regla de la cadena multivariable a funciones compuestas. Estas herramientas modelan la sensibilidad a lo largo de direcciones arbitrarias en el espacio de parámetros.

Lección 4 • Optimización de funciones multivariables

Encuentra puntos críticos usando el gradiente y clasifícalos con el criterio de la segunda derivada. minimize de SciPy extiende la optimización a problemas con restricciones y de alta dimensión.

Lección 1 • Solucionadores numéricos de EDO

Implementa el método de Euler y usa solve_ivp de SciPy para soluciones numéricas precisas. La comparación de métodos revela ventajas y desventajas entre simplicidad y precisión.

Lección 2 • EDO separables y lineales de primer orden

Resuelve EDO separables por separación de variables y EDO lineales con factores integrantes. dsolve de SymPy automatiza ambos métodos y devuelve soluciones generales.

Lección 3 • Sistemas de ecuaciones diferenciales

Modela sistemas dinámicos acoplados como los modelos depredador-presa y compartimentales. solve_ivp de SciPy maneja EDO vectoriales y las gráficas de plano fase revelan el comportamiento.

Lección 4 • Cálculo en modelado aplicado

Integra las herramientas de cálculo en modelos aplicados completos, desde los datos a la ecuación diferencial hasta la interpretación. Los miniproyectos finales consolidan todas las competencias del curso.