Cours de méthodes mathématiques en finance quantitative

Leçon 1 • Notions essentielles d'algèbre linéaire

Présente les vecteurs, les matrices et les transformations linéaires utilisés dans les modèles de portefeuille et factoriels. Fournit des outils pour résoudre des systèmes d'équations financières.

Leçon 2 • Révision du calcul différentiel et intégral pour la finance

Passe en revue la dérivation et l'intégration en mettant l'accent sur les applications financières telles que l'analyse de sensibilité. Fait le pont entre le calcul différentiel et intégral de premier cycle et les mathématiques financières avancées.

Leçon 3 • Analyse réelle et systèmes numériques

Couvre les nombres réels, les limites et la continuité comme fondement de la modélisation financière. Relie l'analyse rigoureuse à la tarification et à la mesure du risque.

Leçon 1 • Techniques statistiques multivariées

Étend l'analyse aux matrices de covariance, aux composantes principales et aux structures factorielles. Soutient directement la construction de portefeuilles et la décomposition du risque.

Leçon 2 • Tests d'hypothèses en finance

Applique des tests classiques et robustes aux données financières, y compris les vérifications de normalité et d'autocorrélation. Soutient la validation des modèles et les rapports réglementaires.

Leçon 3 • Notions fondamentales de l'analyse de régression

Construit la régression des moindres carrés ordinaires pour l'exposition factorielle et l'attribution du rendement. Présente les diagnostics qui assurent la validité du modèle.

Leçon 4 • Statistiques descriptives des rendements

Résume les distributions de rendements à l'aide de moments, de quantiles et de mesures de forme. Établit une caractérisation de base des données avant les méthodes inférentielles.

Leçon 1 • Représentation des martingales et théorème de Girsanov

Couvre le théorème de représentation des martingales et la technique de changement de mesure de Girsanov. Permet la tarification neutre au risque dans les modèles en temps continu.

Leçon 2 • Calcul d'Itô et intégrales stochastiques

Développe l'intégrale d'Itô et le lemme d'Itô pour la transformation de processus stochastiques. Permet la dérivation d'équations différentielles stochastiques pour les prix des actifs.

Leçon 3 • Processus stochastiques en temps discret

Présente les marches aléatoires, les chaînes de Markov et les martingales en temps discret. Fournit une intuition avant la transition vers les modèles en temps continu.

Leçon 4 • Construction du mouvement brownien

Définit le mouvement brownien standard et ses propriétés clés, y compris la continuité et la variation quadratique. Forme le fondement du calcul d'Itô.

Leçon 1 • Cadre de Black-Scholes-Merton

Dérive l'EDP de Black-Scholes-Merton et la formule de tarification d'option analytique. Relie le calcul d'Itô et la mesure neutre au risque à la tarification pratique.

Leçon 2 • Options exotiques et dépendantes du chemin

Tarife les options barrière, asiatiques et lookback à l'aide de méthodes analytiques et de simulation. Étend le cadre BSM aux structures de paiement non standard.

Leçon 3 • Modélisation de la volatilité et volatilité implicite

Analyse le sourire, l'obliquité et la structure par terme de la volatilité à partir des prix d'options de marché. Présente les concepts de modèles de volatilité locale et stochastique.

Leçon 4 • Modèles binomiaux et à treillis

Construit des arbres binomiaux en temps discret pour la tarification d'options et l'exercice américain. Fait le pont entre l'intuition des modèles discrets et continus.

Leçon 1 • Structure par terme des taux d'intérêt

Construit des courbes de rendement zéro-coupon et des courbes de taux forward à partir de données de marché. Relie les formes des courbes aux théories économiques des taux d'intérêt.

Leçon 2 • Cadre de Heath-Jarrow-Morton

Modélise l'évolution de l'ensemble de la courbe des taux forward en utilisant la condition de non-dérive HJM. Généralise les modèles de taux court à une dynamique de taux en dimension infinie.

Leçon 3 • Tarification des obligations et mesures de rendement

Dérive les formules de valeur actuelle pour les obligations à coupon et définit le rendement, la duration et la convexité. Établit la boîte à outils quantitative pour l'analyse des titres à revenu fixe.

Leçon 4 • Modèles de taux court et affines

Développe les modèles de Vasicek, CIR et les modèles de structure par terme affine pour la dynamique des taux d'intérêt. Permet la tarification analytique des obligations sous des taux stochastiques.

Leçon 1 • Modèles multifactoriels

Étend le CAPM aux modèles factoriels de Fama-French et de la théorie de l'arbitrage sur les prix. Permet l'attribution du rendement et la décomposition du risque à travers de multiples facteurs.

Leçon 2 • Mesure et attribution du rendement

Quantifie le rendement du portefeuille à l'aide des ratios de Sharpe, Sortino et d'information. Décompose les rendements en effets d'allocation et de sélection.

Leçon 3 • Modèle d'évaluation des actifs financiers

Dérive l'équation de tarification d'équilibre du CAPM et le bêta comme mesure du risque systématique. Relie la théorie du portefeuille à la tarification des actifs et au coût du capital.

Leçon 4 • Optimisation de portefeuille sous contraintes

Résout les problèmes de portefeuille avec des contraintes d'achat seul, budgétaire et factorielle à l'aide de la méthode du lagrangien et de la programmation quadratique. Fait le pont entre la théorie et la mise en œuvre pratique.

Leçon 1 • Copules et modélisation de la dépendance

Modélise la dépendance conjointe des queues de distribution à l'aide de copules gaussiennes, t et archimédiennes. Aborde les limites de la corrélation linéaire dans l'agrégation des risques.

Leçon 2 • Modélisation du risque de crédit

Quantifie la probabilité de défaut, la perte en cas de défaut et l'exposition au crédit à l'aide de modèles structurels et de forme réduite. Soutient la gestion du portefeuille de crédit.

Leçon 3 • Stratégies de couverture et gestion des Grecques

Conçoit des couvertures delta, gamma et véga pour les portefeuilles de produits dérivés. Relie les sensibilités au risque au rééquilibrage dynamique et à l'explication des P&L.

Leçon 4 • Valeur à risque et perte espérée

Définit la VaR et la perte espérée comme des mesures de risque cohérentes et les dérive de manière analytique et par simulation. Relie les mesures aux exigences de fonds propres.

Leçon 1 • Calibration et validation des modèles

Calibre les modèles de tarification sur les cotations de marché et valide l'ajustement à l'aide de diagnostics statistiques. Assure que les modèles sont à la fois mathématiquement cohérents et cohérents avec le marché.

Leçon 2 • Algorithmes d'optimisation pour la finance

Implémente la descente de gradient, les méthodes de Newton-Raphson et les algorithmes évolutionnaires pour la calibration de modèles et l'optimisation de portefeuille. Aborde les questions de convergence et de minima locaux.

Leçon 3 • Intégration numérique et méthodes de Fourier

Applique la quadrature de Gauss et la transformée de Fourier rapide à la tarification d'options sous fonctions caractéristiques. Permet une tarification efficace pour les modèles sans forme fermée.

Leçon 4 • Méthodes de simulation de Monte Carlo

Génère des trajectoires de prix d'actifs et calcule les prix d'options et les mesures de risque par simulation. Présente des techniques de réduction de la variance pour améliorer l'efficacité de calcul.