Cours équation différentielle non linéaire

Leçon 1 • Classification et formes standard

Catégorise les EDO non linéaires par ordre, type et structure. Propose une taxonomie que les étudiants appliquent lors du choix des méthodes de résolution.

Leçon 2 • Théorèmes d'existence et d'unicité

Présente les théorèmes de Picard-Lindelöf et de Peano pour les équations non linéaires. Les étudiants vérifient les conditions avant de tenter des solutions analytiques ou numériques.

Leçon 3 • Interprétation géométrique des solutions

Introduit les champs de directions et les courbes intégrales comme outils visuels. Relie la structure algébrique au comportement des solutions dans le plan de phase.

Leçon 1 • Équations de Bernoulli et de Riccati

Transforme les équations de Bernoulli et de Riccati en formes linéaires par substitution. Démontre comment la substitution réduit la complexité.

Leçon 2 • Dérivation implicite et solutions paramétriques

Traite les équations résolubles uniquement sous forme paramétrique ou implicite. Prépare les étudiants aux solutions singulières et à la théorie de l'enveloppe.

Leçon 3 • Méthodes de substitution et de transformation

Couvre la substitution homogène, les équations de Clairaut et d'autres transformations. Élargit la boîte à outils pour les équations résistant aux méthodes standard.

Leçon 4 • Séparation des variables

Applique la séparation aux équations non linéaires du premier ordre et évalue les solutions implicites. Renforce les compétences en intégration essentielles pour les chapitres ultérieurs.

Leçon 1 • Points d'équilibre et linéarisation

Localise les équilibres et applique la linéarisation jacobienne pour les classifier. Relie le comportement linéaire local à la dynamique non linéaire près des points fixes.

Leçon 2 • Méthode directe de Lyapunov

Construit des fonctions de Lyapunov pour prouver la stabilité sans solution explicite. Couvre les fonctions candidates énergétiques et quadratiques.

Leçon 3 • Systèmes autonomes et portraits de phase

Convertit les équations scalaires en systèmes du premier ordre et trace les trajectoires. Établit le plan de phase comme outil d'analyse principal.

Leçon 4 • Définitions et critères de stabilité

Définit rigoureusement la stabilité de Lyapunov, asymptotique et globale. Les étudiants appliquent les définitions pour déterminer le comportement à long terme des solutions.

Leçon 1 • Bifurcation de Hopf

Dérive les conditions pour la naissance de cycles limites à partir d'équilibres dans les systèmes plans. Les étudiants appliquent le critère de Hopf aux modèles appliqués.

Leçon 2 • Bifurcations nœud-col et transcritique

Analyse la création et l'échange d'équilibres dans les systèmes unidimensionnels. Les étudiants dérivent des formes normales et esquissent des diagrammes de bifurcation.

Leçon 3 • Bifurcations fourche

Couvre les bifurcations fourche supercritique et sous-critique et la rupture de symétrie. Relie aux phénomènes de flambement et de brisure de symétrie.

Leçon 4 • Bifurcations globales

Introduit les bifurcations homoclines et hétéroclines qui ne peuvent pas être détectées localement. Relie la structure globale des orbites aux changements de paramètres.

Leçon 1 • Développements en perturbation régulière

Construit des solutions en séries entières dans un petit paramètre pour les équations faiblement non linéaires. Établit le cadre pour toutes les méthodes de perturbation.

Leçon 2 • Perturbation singulière et couches limites

Traite les équations où le petit paramètre multiplie la dérivée la plus élevée. Les étudiants construisent les solutions intérieures, extérieures et composites.

Leçon 3 • Méthode de moyennisation

Applique la moyennisation de Krylov-Bogoliubov aux oscillateurs à variation lente. Réduit les systèmes non autonomes en équations moyennées autonomes.

Leçon 4 • Méthode des échelles multiples

Introduit les échelles de temps lente et rapide pour éliminer les termes séculaires dans les systèmes oscillatoires. S'applique aux oscillateurs de Duffing et de van der Pol.

Leçon 1 • Raideur et méthodes implicites

Identifie les systèmes non linéaires raides et applique des schémas implicites pour maintenir la stabilité. Couvre les méthodes d'Euler implicite et trapézoïdale.

Leçon 2 • Méthodes multipas et prédicteur-correcteur

Introduit les schémas d'Adams-Bashforth et d'Adams-Moulton pour l'efficacité. Analyse la stabilité-zéro et la convergence des méthodes multipas.

Leçon 3 • Solveurs de problèmes aux limites

Applique les méthodes de tir, de différences finies et de collocation aux EDP non linéaires. Compare la convergence et la complexité d'implémentation.

Leçon 4 • Analyse d'erreur et convergence

Quantifie l'erreur globale, la consistance et la convergence pour les solveurs non linéaires. Les étudiants vérifient les solutions numériques par rapport à des références analytiques connues.

Leçon 1 • Routes vers le chaos

Passe en revue le doublement de période, la quasi-périodicité et l'intermittence comme routes vers le chaos. Les étudiants identifient quelle route s'applique à un système donné.

Leçon 2 • Exposants de Lyapunov

Calcule les exposants de Lyapunov pour quantifier le chaos et la géométrie des attracteurs. Relie les exposants positifs au comportement chaotique.

Leçon 3 • Système de Lorenz et attracteurs étranges

Analyse les équations de Lorenz comme un système chaotique prototype. Les étudiants identifient l'attracteur étrange et sa structure fractale.

Leçon 4 • Applications de Poincaré et applications de retour

Réduit la dynamique continue en applications discrètes via des sections de Poincaré. Relie les points fixes des applications aux orbites périodiques des flots.

Leçon 1 • Solutions d'ondes progressives

Réduit les EDP non linéaires en EDO via un ansatz d'onde progressive. Applique l'analyse du plan de phase pour classer les profils d'onde.

Leçon 2 • Solitons et systèmes intégrables

Introduit l'équation KdV et les solutions solitons via la diffusion inverse. Met en évidence les lois de conservation et les conditions d'intégrabilité.

Leçon 3 • Systèmes hamiltoniens et de gradient

Identifie la structure hamiltonienne et le flot de gradient dans les systèmes non linéaires. Utilise les quantités conservées pour simplifier l'analyse.

Leçon 4 • Systèmes de réaction-diffusion

Analyse l'instabilité de Turing et la formation de motifs dans les EDP de réaction-diffusion couplées. Relie aux applications biologiques et chimiques.