Cours d'analyse mathématique

Leçon 1 • Révision des Fonctions et de Leurs Propriétés

Couvre le domaine de définition, l'image, la composition et les fonctions réciproques comme prérequis au calcul intégral. Établit le langage des fonctions utilisé tout au long du cours.

Leçon 2 • Techniques Algébriques pour l'Évaluation des Limites

Enseigne les méthodes de substitution, factorisation, rationalisation et conjuguées pour calculer les limites. Fournit des outils pour résoudre les formes indéterminées sans calcul intégral.

Leçon 3 • Continuité et Discontinuité

Définit la continuité en un point et sur un intervalle, en classifiant les discontinuités apparentes, de saut et infinies. Prépare les apprenants aux exigences de dérivabilité.

Leçon 4 • Introduction à la Notion de Limite

Introduit les limites de manière intuitive à l'aide de tableaux et de graphiques avant la définition formelle. Relie la compréhension informelle au cadre précis epsilon-delta.

Leçon 1 • Règles de Dérivation de Base

Introduit les règles de la puissance, de la constante, de la somme et de la différence pour une dérivation rapide. Réduit le calcul répétitif des limites à des procédures algébriques systématiques.

Leçon 2 • Règles du Produit et du Quotient

Étend la dérivation aux produits et quotients de fonctions avec des démonstrations formelles. Permet la dérivation de fonctions rationnelles et de types mixtes.

Leçon 3 • La Dérivée comme Limite

Obtient la dérivée à l'aide du taux d'accroissement et l'interprète comme un taux de variation instantané. Ancre toutes les règles de dérivation dans la définition de la limite.

Leçon 4 • Dérivées des Fonctions Exponentielles et Logarithmiques

Obtient et applique les règles de dérivation pour les fonctions exponentielles et logarithmiques naturelles et générales. Complète la boîte à outils de dérivation des fonctions élémentaires.

Leçon 1 • Concavité et Dérivée Seconde

Introduit la concavité, les points d'inflexion et le test de la dérivée seconde pour classifier les extremums. Complète la boîte à outils analytique pour l'analyse complète des courbes.

Leçon 2 • Théorème des Accroissements Finis et Règle de L'Hôpital

Démontre et applique le théorème des accroissements finis et utilise la règle de L'Hôpital pour les limites indéterminées. Fait le pont entre les résultats théoriques et l'évaluation pratique des limites.

Leçon 3 • Approximation Linéaire et Différentielles

Utilise la tangente pour approximer les valeurs d'une fonction et introduit la notation différentielle. Relie la signification de la dérivée aux techniques d'estimation pratiques.

Leçon 4 • Problèmes d'Optimisation

Formule et résout des problèmes d'optimisation à l'aide des dérivées et du théorème des valeurs extrêmes. Développe des compétences de modélisation pour maximiser ou minimiser des quantités réelles.

Leçon 5 • Dérivation Implicite et Taux Liés

Dérive des relations définies implicitement et relie les taux de variation de variables liées. Fournit des outils pour les problèmes où la forme explicite d'une fonction n'est pas disponible.

Leçon 1 • Le Théorème Fondamental du Calcul Intégral

Énonce et démontre les deux parties du théorème fondamental, reliant la dérivation et l'intégration. Permet l'évaluation exacte des intégrales définies à l'aide des primitives.

Leçon 2 • Règle de Substitution pour l'Intégration

Introduit la substitution u comme contrepartie de la règle de dérivation en chaîne pour l'intégration. Étend la gamme des fonctions intégrables aux expressions composées.

Leçon 3 • Sommes de Riemann et Intégrale Définie

Construit l'intégrale définie comme la limite de sommes de Riemann en utilisant les approximations gauche, droite et du point milieu. Fournit le fondement géométrique et analytique de l'intégration.

Leçon 4 • Primitives et Intégrales Indéfinies

Définit les primitives et l'intégrale indéfinie, en introduisant la constante d'intégration. Établit l'intégration comme le processus inverse de la dérivation.

Leçon 1 • Intégrales Trigonométriques

Évalue les intégrales de puissances et de produits de sinus, cosinus, tangente et sécante. Développe des techniques spécialisées pour les familles de fonctions trigonométriques.

Leçon 2 • Décomposition en Fractions Partielles

Décompose les fonctions rationnelles en fractions partielles pour l'intégration. Couvre les cas de facteurs linéaires distincts, linéaires répétés et quadratiques irréductibles.

Leçon 3 • Substitution Trigonométrique

Élimine les racines carrées dans les intégrandes à l'aide de substitutions en sinus, tangente et sécante. Résout les intégrales impliquant des expressions de la forme a^2 moins x^2 et formes apparentées.

Leçon 4 • Intégration par Parties

Obtient et applique la formule d'intégration par parties, en choisissant u et dv de manière stratégique. Traite les produits de fonctions polynomiales, exponentielles et logarithmiques.

Leçon 1 • Valeur Moyenne et Applications aux Probabilités

Calcule la valeur moyenne d'une fonction et applique l'intégration aux distributions de probabilité continues. Relie l'intégration aux applications statistiques et analytiques.

Leçon 2 • Volumes par Tranchage et Disques

Calcule les volumes des solides de révolution à l'aide des méthodes du disque et de la rondelle. Relie l'intégration des aires de section transversale à la géométrie tridimensionnelle.

Leçon 3 • Longueur d'Arc et Aire de Surface

Obtient et applique les formules pour la longueur d'arc des courbes et l'aire de surface de révolution. Étend l'intégration aux mesures géométriques unidimensionnelles et bidimensionnelles.

Leçon 4 • Travail, Force et Applications Physiques

Modélise le travail effectué par des forces variables et la pression des fluides à l'aide d'intégrales définies. Démontre l'intégration comme un outil pour l'accumulation de quantités physiques.

Leçon 1 • Séries Entières et Rayon de Convergence

Définit les séries entières, détermine le rayon et l'intervalle de convergence, et effectue des opérations terme à terme. Prépare les apprenants à la construction des séries de Taylor et de Maclaurin.

Leçon 2 • Suites et Leurs Limites

Définit formellement les suites, examine leur convergence et applique les théorèmes sur les limites aux suites. Fournit les fondements pour comprendre le comportement des séries infinies.

Leçon 3 • Séries Alternées et Convergence Absolue

Analyse les séries alternées à l'aide du test des séries alternées et distingue la convergence absolue de la convergence conditionnelle. Complète le cadre de classification de la convergence.

Leçon 4 • Séries de Taylor et de Maclaurin

Construit les séries de Taylor et de Maclaurin pour des fonctions standard et estime l'erreur à l'aide du théorème du reste. Permet l'approximation de fonctions et le calcul basé sur les séries.

Leçon 5 • Séries Infinies et Sommes Partielles

Introduit les séries infinies comme limites de sommes partielles et examine les séries géométriques et télescopiques. Établit le cadre pour toute analyse ultérieure de la convergence.

Leçon 1 • Dérivées Partielles et le Gradient

Calcule les dérivées partielles, les dérivées partielles d'ordre supérieur et le vecteur gradient. Relie la dérivation partielle aux taux de variation directionnels.

Leçon 2 • Règle de Dérivation en Chaîne à Plusieurs Variables et Dérivation Implicite

Étend la règle de dérivation en chaîne aux compositions de fonctions à plusieurs variables et aux relations implicites. Permet la dérivation dans des contextes paramétriques et implicitement définis à plusieurs variables.

Leçon 3 • Fonctions de Plusieurs Variables

Introduit les fonctions de deux et trois variables, leurs domaines de définition, et les courbes et surfaces de niveau. Développe l'intuition spatiale nécessaire à la dérivation et à l'intégration à plusieurs variables.

Leçon 4 • Optimisation des Fonctions à Plusieurs Variables

Trouve les points critiques des fonctions de deux variables et les classe à l'aide du test de la dérivée seconde. Introduit l'optimisation sous contrainte via les multiplicateurs de Lagrange.