Cours de calcul vectoriel

Leçon 1 • Révision des vecteurs et des systèmes de coordonnées

Établit l'algèbre vectorielle et la géométrie de coordonnées 3D comme langage du calcul vectoriel. Relie les produits scalaire et vectoriel aux calculs ultérieurs de gradient et de rotationnel.

Leçon 2 • Courbes paramétriques et fonctions vectorielles

Définit les fonctions à valeurs vectorielles et les représentations paramétriques des courbes. Pose les bases des intégrales curvilignes et des calculs de longueur d'arc dans les chapitres suivants.

Leçon 3 • Fonctions de plusieurs variables

Présente les fonctions à valeurs scalaires de deux et trois variables et leurs domaines de définition. Fournit la base fonctionnelle nécessaire avant d'introduire la dérivation.

Leçon 1 • Dérivées partielles : définition et calcul

Définit les dérivées partielles géométriquement et algébriquement pour les fonctions de deux variables ou plus. Ancre le chapitre en établissant l'opération de dérivation centrale.

Leçon 2 • Dérivées directionnelles

Étend la dérivation à des directions arbitraires en utilisant la formule du produit scalaire du gradient. Développe l'intuition pour les concepts de flux et de taux de variation utilisés dans les chapitres sur l'intégration.

Leçon 3 • Le vecteur gradient

Présente le gradient comme le vecteur des dérivées partielles et sa signification géométrique. Relie les dérivées directionnelles et, plus tard, les champs conservatifs.

Leçon 4 • Plans tangents et approximation linéaire

Obtient l'équation du plan tangent et la différentielle totale pour l'estimation d'erreur. Fournit le cadre de linéarisation locale qui sous-tend la règle de dérivation en chaîne et l'optimisation.

Leçon 1 • Points critiques et test de la dérivée seconde

Identifie les points critiques via les conditions de gradient nul et les classe à l'aide du déterminant de la matrice hessienne. Établit le processus de base de l'optimisation sans contrainte.

Leçon 2 • Extremums absolus sur des régions fermées

Étend l'optimisation aux domaines compacts en combinant les points critiques intérieurs avec l'analyse des limites. Prépare les étudiants aux problèmes contraints en renforçant le raisonnement sur les limites.

Leçon 3 • Multiplicateurs de Lagrange : contrainte unique

Présente la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour l'optimisation sous une contrainte d'égalité. Relie la géométrie du gradient aux surfaces de contrainte pour une compréhension intuitive.

Leçon 1 • Intégrales triples et systèmes de coordonnées

Présente les intégrales triples sur des régions 3D en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Relie le choix des coordonnées à la symétrie pour l'efficacité des calculs.

Leçon 2 • Intégrales doubles sur des régions rectangulaires

Définit l'intégrale double via les sommes de Riemann et l'évalue à l'aide du théorème de Fubini. Établit la technique de l'intégrale itérée sur laquelle toutes les intégrations ultérieures sont construites.

Leçon 3 • Intégrales doubles en coordonnées polaires

Transforme les intégrales doubles en forme polaire en utilisant le facteur jacobien r. Permet une évaluation efficace sur des régions circulaires et à symétrie radiale.

Leçon 4 • Intégrales doubles sur des régions générales

Étend l'intégration double aux régions non rectangulaires de type I et de type II. Développe la compétence à choisir et inverser l'ordre d'intégration pour l'efficacité.

Leçon 1 • Introduction aux champs vectoriels

Définit les champs vectoriels comme des attributions de vecteurs à des points et les visualise via des tracés de champ. Établit le contexte physique des champs de force, de vitesse et de flux.

Leçon 2 • Théorème de Green dans le plan

Énonce et applique le théorème de Green pour convertir des intégrales curvilignes en intégrales doubles sur des régions fermées. Fait le lien entre les intégrales curvilignes 2D et les théorèmes de surface et de volume à venir.

Leçon 3 • Intégrales curvilignes de fonctions scalaires

Définit et évalue les intégrales curvilignes de fonctions scalaires par rapport à la longueur d'arc. Relie les problèmes de masse de fil et de valeur moyenne le long de courbes.

Leçon 4 • Champs conservatifs et fonctions potentielles

Identifie les champs vectoriels conservatifs via l'indépendance du chemin et la condition de rotationnel nul. Développe la technique de recherche des fonctions potentielles pour les champs exacts.

Leçon 1 • Rotationnel : calcul et signification

Calcule le rotationnel d'un champ vectoriel et l'interprète comme une densité de rotation locale ou de circulation. Relie au théorème de Stokes et aux conditions de champ irrotationnel.

Leçon 2 • L'opérateur nabla et ses formes

Présente l'opérateur nabla et ses trois formes principales : gradient, divergence et rotationnel. Fournit un cadre symbolique unifié pour toutes les opérations différentielles du calcul vectoriel.

Leçon 3 • Divergence : calcul et signification

Calcule la divergence de champs vectoriels et l'interprète comme une force de source ou de puits locale. Relie au théorème de divergence et aux équations de continuité des fluides.

Leçon 4 • Le laplacien et les fonctions harmoniques

Définit le laplacien comme la divergence du gradient et identifie les fonctions harmoniques. Prépare les étudiants aux applications en théorie du potentiel et aux équations aux dérivées partielles.

Leçon 1 • Intégrales de flux de champs vectoriels

Définit le flux comme l'intégrale de surface du produit scalaire d'un champ vectoriel avec la normale unitaire sortante. Fournit la base physique pour le théorème de divergence.

Leçon 2 • Paramétrisation de surfaces en 3D

Définit les paramétrisations de surface à l'aide de deux paramètres et calcule le produit vectoriel des vecteurs tangents. Établit l'élément de surface dS nécessaire pour toutes les intégrales de surface.

Leçon 3 • Le théorème de divergence

Convertit les intégrales de flux sur des surfaces fermées en intégrales de volume de la divergence. Complète le trio des théorèmes fondamentaux et unifie la théorie de l'intégration du cours.

Leçon 4 • Intégrales de surface de fonctions scalaires

Évalue les intégrales de fonctions scalaires sur des surfaces paramétrées pour la masse et la valeur moyenne. Relie au cadre de l'intégrale double établi dans le chapitre sur les intégrales multiples.

Leçon 1 • Applications en mécanique des fluides

Applique la divergence, le rotationnel et les théorèmes intégraux pour modéliser l'écoulement des fluides incompressibles et irrotationnels. Démontre comment le calcul vectoriel pilote directement la modélisation physique.

Leçon 2 • Relier les trois théorèmes fondamentaux

Unifie le théorème fondamental des intégrales curvilignes, de Green, de Stokes et de divergence sous un même cadre. Révèle la dualité opérateur-limite commune aux quatre résultats.

Leçon 3 • Problèmes de synthèse et stratégies de démonstration

Présente des problèmes en plusieurs étapes nécessitant la sélection et la combinaison de théorèmes de l'ensemble du cours. Développe l'aisance stratégique de résolution de problèmes comme compétence de synthèse.

Leçon 4 • Aperçu du théorème de Stokes généralisé

Présente les formes différentielles et la dérivée extérieure pour énoncer le théorème de Stokes généralisé. Fournit une profondeur conceptuelle sans nécessiter les prérequis complets de la géométrie différentielle.