Cours de mathématiques appliquées

Leçon 1 • Logique mathématique et techniques de démonstration

Présente la logique propositionnelle, les quantificateurs et les stratégies de démonstration standard. Développe des compétences de raisonnement rigoureux utilisées tout au long du cours.

Leçon 2 • Manipulation algébrique et équations

Renforce l'algèbre polynomiale, rationnelle et exponentielle avec une résolution systématique d'équations. Fournit l'aisance calculatoire nécessaire pour le calcul différentiel et intégral et l'algèbre linéaire.

Leçon 3 • Ensembles, relations et fonctions

Définit les ensembles, les applications et les structures relationnelles comme le langage des mathématiques modernes. Fait le lien direct avec les cadres algébriques et analytiques à venir.

Leçon 4 • Notions essentielles de géométrie analytique

Couvre le plan cartésien, la distance, la pente et les sections coniques. Fait le pont entre la pensée algébrique et géométrique pour les futurs travaux analytiques et vectoriels.

Leçon 1 • Limites et continuité

Définit rigoureusement les limites et caractérise les fonctions continues. Établit le fondement analytique de la dérivation et de l'intégration.

Leçon 2 • Règles de dérivation et applications

Dérive et applique les règles de la puissance, du produit, du quotient et de la dérivation en chaîne. Fait le lien entre les dérivées et l'optimisation, l'étude de courbes et les problèmes de taux.

Leçon 3 • Techniques d'intégration

Présente les primitives, le théorème fondamental et les méthodes d'intégration clés. Développe la compétence calculatoire pour l'aire, l'accumulation et les équations différentielles.

Leçon 4 • Applications de l'intégration

Applique les intégrales définies à l'aire, au volume, à la longueur d'arc et aux grandeurs physiques. Renforce le lien entre l'intégration et la mesure dans le monde réel.

Leçon 1 • Flux de réseaux et optimisation

Présente les algorithmes de flot maximal-coupe minimale, de plus court chemin et de couplage sur les graphes. Applique l'optimisation discrète à la logistique, l'ordonnancement et l'allocation de ressources.

Leçon 2 • Relations de récurrence et fonctions génératrices

Résout les récurrences linéaires et introduit les fonctions génératrices pour l'analyse de suites. Fait le pont entre la combinatoire, la complexité algorithmique et la programmation dynamique.

Leçon 3 • Fondements de la théorie des graphes

Définit les graphes, les arbres, les chemins et la connectivité avec des algorithmes clés. Fait le lien entre les structures de graphes et la modélisation de réseaux et les problèmes d'optimisation.

Leçon 4 • Principes de comptage et combinatoire

Couvre les permutations, les combinaisons et le principe d'inclusion-exclusion. Fournit la base de comptage pour la probabilité et l'analyse d'algorithmes.

Leçon 1 • Déterminants et leurs applications

Définit les déterminants par développement par cofacteurs et opérations élémentaires sur les lignes. Utilise les déterminants pour évaluer l'inversibilité, calculer le volume et appliquer la règle de Cramer.

Leçon 2 • Vecteurs et espaces vectoriels

Définit les vecteurs, les combinaisons linéaires, le sous-espace engendré et la base dans des contextes abstraits et concrets. Fournit le vocabulaire géométrique et algébrique pour tout travail matriciel.

Leçon 3 • Opérations matricielles et systèmes

Couvre l'arithmétique matricielle, la réduction par lignes et la résolution de systèmes linéaires. Fait le lien entre l'algèbre matricielle et les concepts d'espace vectoriel présentés précédemment.

Leçon 4 • Valeurs propres et vecteurs propres

Obtient les valeurs propres à partir du polynôme caractéristique et interprète géométriquement les vecteurs propres. Prépare les apprenants à la diagonalisation et aux applications spectrales.

Leçon 1 • Dérivées partielles et gradients

Définit les dérivées partielles, les dérivées directionnelles et le vecteur gradient. Fait le lien entre ces outils et la géométrie des surfaces ainsi que les taux de variation dans plusieurs directions.

Leçon 2 • Fondements du calcul vectoriel

Présente les intégrales curvilignes, les intégrales de surface et les grands théorèmes intégraux. Fait le lien entre les champs de vecteurs et des concepts physiques tels que le flux et la circulation.

Leçon 3 • Optimisation multivariable

Applique les conditions du second ordre et les multiplicateurs de Lagrange pour localiser les extrema sous contraintes. Étend l'optimisation à une variable à des contextes de dimension supérieure.

Leçon 1 • Distributions discrètes et continues

Couvre les distributions de probabilité clés, notamment binomiale, de Poisson, normale et exponentielle. Fait le lien entre le choix de la distribution et les processus réels de génération de données.

Leçon 2 • Analyse de régression et de corrélation

Développe les modèles de régression linéaire simple et multiple avec des vérifications diagnostiques. Applique la régression à la prédiction et à la quantification des relations dans des contextes appliqués.

Leçon 3 • Fondements de la probabilité

Définit les espaces d'échantillonnage, les événements et les axiomes de la probabilité. Établit le cadre formel sous-tendant tout raisonnement statistique dans le chapitre.

Leçon 4 • Statistiques descriptives et résumés de données

Couvre les mesures de tendance centrale, de dispersion et de forme pour les données univariées et bivariées. Fournit des outils pour résumer les ensembles de données avant l'inférence formelle.

Leçon 1 • Méthodes de la transformée de Laplace

Utilise la transformée de Laplace pour convertir les EDO en équations algébriques en vue d'une solution efficace. Particulièrement utile pour les fonctions de forçage définies par morceaux et les applications d'ingénierie.

Leçon 2 • Équations linéaires du second ordre

Résout les EDO homogènes et non homogènes du second ordre à coefficients constants. Modélise les systèmes oscillatoires et amortis courants dans les contextes appliqués.

Leçon 3 • Équations différentielles du premier ordre

Couvre les EDO séparables, linéaires et exactes du premier ordre avec des problèmes à valeurs initiales. Établit les techniques de résolution et l'analyse qualitative pour des modèles dynamiques simples.

Leçon 4 • Systèmes d'équations différentielles

Analyse les systèmes d'EDO couplées à l'aide de méthodes matricielles et de techniques de plan de phase. Fait le lien entre la théorie des valeurs propres de l'algèbre linéaire et le comportement des systèmes dynamiques.

Leçon 1 • Principes de la modélisation mathématique

Définit le cycle de modélisation : identification du problème, établissement d'hypothèses, formulation et validation. Établit un cadre systématique pour appliquer les mathématiques à des problèmes réels.

Leçon 2 • Communication et rapport de modèle

Couvre la rédaction technique, la visualisation et la présentation de résultats mathématiques à des publics divers. Prépare les apprenants à fournir des informations exploitables à partir de modèles complexes.

Leçon 3 • Modèles d'optimisation dans la pratique

Applique la programmation linéaire, l'optimisation non linéaire et la programmation en nombres entiers à des scénarios appliqués. Fait le lien entre le calcul et les méthodes discrètes et la prise de décision sous contraintes.

Leçon 4 • Systèmes dynamiques et simulation

Modélise les systèmes évoluant dans le temps à l'aide d'EDO, d'équations aux différences et d'approches basées sur les agents. Fait le lien entre les équations différentielles et les mathématiques discrètes avec l'analyse basée sur la simulation.