Corso di Calcolo Applicato con Python

Lezione 1 • Configurazione dell'Ambiente Python

Installare Python, Jupyter, NumPy, SymPy e Matplotlib. Questa toolchain è alla base di ogni esercizio computazionale del corso.

Lezione 2 • Sintassi Python per il Lavoro Matematico

Trattare variabili, cicli, funzioni e list comprehension applicati al calcolo numerico. Questi costrutti traducono la notazione matematica in codice eseguibile.

Lezione 3 • Espressioni Algebriche con SymPy

Usare i simboli di SymPy per costruire, semplificare e fattorizzare espressioni algebriche. La manipolazione simbolica è la porta d'accesso al calcolo analitico in Python.

Lezione 4 • Array Numerici con NumPy

Creare e operare su array NumPy per valutare funzioni su intervalli. Il calcolo basato su array è la spina dorsale numerica dei flussi di lavoro del calcolo applicato.

Lezione 1 • Continuità e Discontinuità

Definire formalmente la continuità e classificare le discontinuità eliminabili, di salto e infinite. Gli script Python rilevano e visualizzano le discontinuità nelle funzioni reali.

Lezione 2 • Il Concetto di Limite

Presentare le definizioni informale e formale di limite usando tabelle e grafici. L'esplorazione numerica in Python costruisce l'intuizione prima dei metodi simbolici.

Lezione 3 • Calcolo dei Limiti con SymPy

Applicare la funzione limit di SymPy per valutare limiti analitici, incluse le forme indeterminate. I risultati simbolici sono verificati rispetto alle approssimazioni numeriche.

Lezione 1 • Derivate di Funzioni Speciali

Differenziare funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche. SymPy le gestisce analiticamente mentre NumPy le valuta numericamente.

Lezione 2 • Regole di Derivazione di Base

Applicare le regole di potenza, costante, somma e differenza per differenziare polinomi. La funzione diff di SymPy automatizza e verifica i calcoli manuali.

Lezione 3 • Derivazione Implicita e Numerica

Differenziare relazioni definite implicitamente e applicare schemi alle differenze finite numericamente. Queste tecniche gestiscono funzioni che non possono essere risolte esplicitamente.

Lezione 4 • Regole del Prodotto, Quoziente e Catena

Estendere la differenziazione a prodotti, quozienti e funzioni composte. Queste regole gestiscono la maggior parte delle funzioni incontrate nei problemi applicati.

Lezione 1 • Ottimizzazione con le Derivate

Trovare estremi assoluti e locali usando punti critici e analisi dei bordi. SymPy risolve le equazioni delle derivate mentre minimize di SciPy convalida i risultati.

Lezione 2 • Teorema di De L'Hôpital e Analisi Asintotica

Risolvere limiti indeterminati usando il teorema di De L'Hôpital e analizzare il comportamento asintotico. SymPy automatizza l'applicazione ripetuta e conferma gli asintoti grafici.

Lezione 3 • Crescenza, Decrescenza e Concavità

Usare la derivata prima e seconda per determinare il comportamento della funzione e la concavità. I grafici Python annotati con le caratteristiche critiche rafforzano i risultati analitici.

Lezione 4 • Problemi di Tassi Correlati

Differenziare equazioni a più variabili rispetto al tempo per collegare quantità variabili. Python simula scenari dinamici e traccia le relazioni tra i tassi.

Lezione 1 • Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Enunciare e applicare entrambe le parti del Teorema Fondamentale per collegare differenziazione e integrazione. SymPy dimostra il teorema simbolicamente su esempi concreti.

Lezione 2 • Somme di Riemann e Integrale Definito

Approssimare l'area sotto una curva usando somme di Riemann sinistre, destre e del punto medio. I cicli Python e la vettorizzazione di NumPy rendono visibile il comportamento di convergenza.

Lezione 3 • Regole e Formule di Integrazione di Base

Applicare le regole della primitiva di potenza, esponenziale e trigonometrica. SymPy convalida ogni risultato e mette in evidenza errori comuni come le costanti mancanti.

Lezione 4 • Integrazione per Sostituzione

Applicare la sostituzione per trasformare gli integrali in forme più semplici. Gli strumenti di sostituzione di SymPy automatizzano la tecnica per integrandi composti complessi.

Lezione 1 • Valor Medio e Teorema del Valor Medio

Calcolare il valor medio di una funzione e individuare il punto garantito del valor medio. Questi concetti compaiono nell'elaborazione dei segnali e nelle medie statistiche.

Lezione 2 • Volumi di Solidi di Rotazione

Applicare i metodi dei dischi, delle rondelle e dei gusci per calcolare i volumi di solidi di rotazione. I grafici tridimensionali di Matplotlib rendono concreta la geometria.

Lezione 3 • Lunghezza d'Arco e Area Superficiale

Derivare e valutare gli integrali di lunghezza d'arco e area superficiale per curve regolari. quad di SciPy gestisce integrandi che resistono alle primitive simboliche.

Lezione 4 • Accumulo e Variazione Netta

Interpretare l'integrale come variazione accumulata in modelli di velocità, popolazione e costo. Python simula l'accumulo di serie temporali e confronta con i risultati analitici.

Lezione 1 • Derivate Parziali e Gradienti

Calcolare le derivate parziali simbolicamente con SymPy e assemblare il vettore gradiente. Il significato geometrico del gradiente come direzione di massima salita è visualizzato con grafici quiver.

Lezione 2 • Funzioni di Più Variabili

Definire e visualizzare campi scalari usando grafici a curve di livello e superfici 3D. La comprensione della geometria delle funzioni a più variabili precede le tecniche analitiche.

Lezione 3 • Derivate Direzionali e Regola della Catena

Calcolare le derivate direzionali e applicare la regola della catena a più variabili a funzioni composte. Questi strumenti modellano la sensibilità lungo direzioni arbitrarie nello spazio dei parametri.

Lezione 4 • Ottimizzazione di Funzioni a Più Variabili

Trovare i punti critici usando il gradiente e classificarli con il criterio della derivata seconda. minimize di SciPy estende l'ottimizzazione a problemi vincolati e ad alta dimensionalità.

Lezione 1 • Risolutori Numerici di EDO

Implementare il metodo di Eulero e usare solve_ivp di SciPy per soluzioni numeriche accurate. Il confronto dei metodi rivela compromessi tra semplicità e precisione.

Lezione 2 • EDO del Primo Ordine Separabili e Lineari

Risolvere EDO separabili mediante separazione delle variabili ed EDO lineari con fattori integranti. dsolve di SymPy automatizza entrambi i metodi e restituisce le soluzioni generali.

Lezione 3 • Sistemi di Equazioni Differenziali

Modellare sistemi dinamici accoppiati come modelli predatore-preda e compartimentali. solve_ivp di SciPy gestisce EDO a valori vettoriali e i grafici del piano delle fasi rivelano il comportamento.

Lezione 4 • Calcolo nella Modellistica Applicata

Integrare gli strumenti di calcolo in modelli applicati end-to-end, dai dati all'equazione differenziale fino alla comprensione. Mini-progetti conclusivi consolidano tutte le competenze del corso.