Curso Avançado de Probabilidade e Estatística

Aula 1 • Axiomas e Propriedades da Probabilidade

Apresenta os axiomas de Kolmogorov e deriva as principais propriedades. Fornece a base lógica para todos os cálculos de probabilidade no curso.

Aula 2 • Combinatória para Probabilidade

Aborda técnicas de contagem essenciais para calcular probabilidades em espaços finitos. Conecta o raciocínio combinatório à construção de modelos de probabilidade.

Aula 3 • Probabilidade Condicional e Independência

Define formalmente probabilidade condicional e independência estatística. Conecta esses conceitos ao raciocínio do mundo real sobre eventos dependentes.

Aula 4 • Espaços Amostrais e Álgebra de Eventos

Define espaços amostrais, sigma-álgebras e operações com eventos. Estabelece a linguagem da teoria dos conjuntos usada em todo o trabalho subsequente de probabilidade.

Aula 1 • Funções Geradoras e Funções Características

Apresenta funções geradoras de probabilidade, funções geradoras de momentos e funções características. Demonstra seu uso na identificação de distribuições e na prova de teoremas limites.

Aula 2 • Variáveis Aleatórias Discretas

Define variáveis aleatórias discretas por meio de funções de probabilidade e FDA. Apresenta as distribuições Bernoulli, binomial, geométrica e de Poisson.

Aula 3 • Esperança, Variância e Momentos

Deriva os operadores de esperança e variância e suas propriedades algébricas. Apresenta funções geradoras de momentos como ferramentas para caracterizar distribuições.

Aula 4 • Variáveis Aleatórias Contínuas

Apresenta funções densidade de probabilidade e FDAs contínuas. Aborda as distribuições uniforme, exponencial e normal com suas principais propriedades.

Aula 1 • Distribuições Condicionais e Esperança

Deriva distribuições condicionais e o operador de esperança condicional. Apresenta a propriedade da torre como uma ferramenta chave para calcular esperanças.

Aula 2 • Distribuição Normal Multivariada

Caracteriza a normal multivariada por meio de seu vetor de médias e matriz de covariância. Deriva distribuições marginais e condicionais e a propriedade da transformação afim.

Aula 3 • Cópulas e Modelagem de Dependência

Apresenta o teorema de Sklar e famílias de cópulas para modelar dependência não linear. Aplica cópulas ao comportamento conjunto das caudas e à agregação de riscos.

Aula 4 • Distribuições Conjuntas e Marginais

Define FPs e FDPs conjuntas e deriva distribuições marginais por integração ou somatório. Estabelece a estrutura multivariada para todos os capítulos subsequentes.

Aula 1 • Desigualdades de Concentração

Apresenta as desigualdades de Markov, Chebyshev, Chernoff e Hoeffding para limites de probabilidade nas caudas. Aplica essas ferramentas à determinação do tamanho amostral e à análise de algoritmos.

Aula 2 • Leis dos Grandes Números

Prova as leis fraca e forte dos grandes números sob condições padrão. Conecta esses resultados à justificativa da probabilidade frequentista e à simulação.

Aula 3 • Método Delta e Estabilização da Variância

Deriva o método delta para distribuições assintóticas de funções suaves de estimadores. Aplica transformações estabilizadoras de variância para melhorar aproximações normais.

Aula 4 • Modos de Convergência Estocástica

Define convergência em probabilidade, quase certa, em média e em distribuição. Esclarece a hierarquia dos modos de convergência com exemplos e contraexemplos.

Aula 1 • Método dos Momentos e Estimação Bayesiana

Apresenta a estimação pelo método dos momentos e a contrasta com a estimação bayesiana a posteriori. Aborda prioris conjugadas e a média a posteriori como um estimador de Bayes.

Aula 2 • Propriedades dos Estimadores Pontuais

Define não viés, consistência, eficiência e suficiência para estimadores pontuais. Fornece critérios para comparar estimadores concorrentes em contextos aplicados.

Aula 3 • Intervalos de Confiança e Quantidades Pivotais

Constrói intervalos de confiança exatos e aproximados usando quantidades pivotais. Interpreta a probabilidade de cobertura e distingue intervalos de confiança de intervalos de credibilidade.

Aula 4 • Limite Inferior de Cramér-Rao

Deriva o LICR como a variância mínima para estimadores não viesados. Identifica estimadores eficientes e conecta o limite à informação de Fisher.

Aula 1 • Testes da Razão de Verossimilhança Generalizados

Deriva o TRVG para hipóteses compostas e estabelece o teorema de Wilks para a distribuição qui-quadrado assintótica. Aplica o TRVG à comparação de modelos aninhados.

Aula 2 • Teoria da Decisão Estatística

Enquadra a estimação e o teste como problemas de decisão com funções de perda e risco. Apresenta admissibilidade, regras minimax e procedimentos de decisão de Bayes.

Aula 3 • Testes Múltiplos e Controle da Taxa de Erro

Aborda o problema de comparações múltiplas e introduz procedimentos de controle da FWER e do FDR. Aplica as correções de Bonferroni, Holm e Benjamini-Hochberg.

Aula 4 • Fundamentos do Teste de Hipóteses

Define hipóteses nula e alternativa, erros Tipo I e II e poder. Estabelece a estrutura de Neyman-Pearson como base para a construção de testes ótimos.

Aula 1 • Modelos de Efeitos Mistos e Hierárquicos

Introduz efeitos aleatórios para lidar com estruturas de dados agrupados e longitudinais. Deriva a estimação REML e interpreta os componentes de efeitos fixos versus efeitos aleatórios.

Aula 2 • Diagnóstico de Regressão e Verificação de Pressupostos

Identifica violações dos pressupostos de linearidade, homocedasticidade, normalidade e independência. Aplica gráficos de resíduos, medidas de influência e testes de diagnóstico formais.

Aula 3 • Regressão Linear Simples e Múltipla

Deriva estimadores OLS via álgebra matricial e estabelece o teorema de Gauss-Markov. Aborda inferência sobre coeficientes, ajuste do modelo e intervalos de predição.

Aula 4 • Seleção de Variáveis e Regularização

Aborda seleção de subconjuntos, critérios AIC/BIC e métodos de shrinkage para regressão em alta dimensão. Deriva estimadores ridge e lasso e seus compromissos entre viés e variância.

Aula 1 • Especificação do Modelo Bayesiano

Aborda estratégias de elicitação de prioris, incluindo prioris informativas, fracamente informativas e não informativas. Conecta a escolha da priori à sensibilidade da posteriori e à identificabilidade do modelo.

Aula 2 • Cálculo da Posteriori e Conjugação

Deriva posteriori de forma fechada para modelos conjugados e identifica suas limitações. Motiva métodos numéricos para o cálculo da posteriori em modelos não conjugados.

Aula 3 • Métodos de Cadeia de Markov Monte Carlo

Deriva os algoritmos de Metropolis-Hastings e de amostragem de Gibbs para simulação da posteriori. Aborda diagnósticos de convergência e avaliação do tamanho amostral efetivo.

Aula 4 • Comparação de Modelos Bayesianos

Apresenta fatores de Bayes, verossimilhanças marginais e critérios de informação para seleção de modelos. Aplica WAIC e LOO-CV para comparação preditiva de modelos.