Curso de Matemática de Probabilidade

Aula 1 • Axiomas e Propriedades Básicas

Apresenta os três axiomas de Kolmogorov e deriva regras fundamentais a partir deles. Os estudantes usam estas regras para verificar e calcular probabilidades rigorosamente.

Aula 2 • Conjuntos, Resultados e Espaços Amostrais

Introduz a notação de conjuntos e o conceito de espaço amostral como o universo de resultados. Estabelece o vocabulário utilizado em todos os cálculos de probabilidade.

Aula 3 • Definição e Medição da Probabilidade

Aborda as interpretações clássica, frequentista e subjetiva da probabilidade. Liga cada interpretação a contextos reais de medição.

Aula 1 • Regra da Multiplicação e Regra da Cadeia

Deriva a regra da multiplicação a partir da definição de probabilidade condicional. Estende-a a cadeias de múltiplos eventos dependentes.

Aula 2 • Teorema de Bayes e Atualização de Crenças

Deriva o teorema de Bayes e aplica-o a probabilidades condicionais inversas. Os estudantes atualizam crenças anteriores com nova evidência em problemas estruturados.

Aula 3 • Lei da Probabilidade Total

Introduz partições do espaço amostral e a fórmula da probabilidade total. Fornece a base necessária para derivar o teorema de Bayes.

Aula 4 • Probabilidade Condicional Definida

Define P(A|B) como uma razão e explica como a condicionagem restringe o espaço amostral. Constrói a ponte conceptual do raciocínio incondicional para o condicional.

Aula 1 • Valor Esperado e Variância

Deriva a esperança como uma média ponderada pela probabilidade e a variância como dispersão. Estabelece a linearidade da esperança e o seu poder computacional.

Aula 2 • Distribuição de Poisson

Deriva a distribuição de Poisson como um limite da binomial para eventos raros. Os estudantes aplicam-na a dados de contagem e verificam as condições de aproximação de Poisson.

Aula 3 • Distribuições Geométrica e Binomial Negativa

Modela tempos de espera até ao sucesso usando as distribuições geométrica e binomial negativa. Liga estas à propriedade de falta de memória das provas geométricas.

Aula 4 • Distribuições de Bernoulli e Binomial

Modela provas binárias com variáveis de Bernoulli e provas repetidas com a binomial. Os estudantes derivam e aplicam as fórmulas da FMP, média e variância.

Aula 1 • Funções de Densidade de Probabilidade

Define a FDP e explica porque as probabilidades pontuais são zero para variáveis contínuas. Liga a FDP à FDA através da integração.

Aula 2 • Distribuições Uniforme e Exponencial

Introduz a distribuição uniforme para intervalos equiprováveis e a exponencial para tempos de espera. Destaca a propriedade de falta de memória da exponencial.

Aula 3 • Outras Distribuições Contínuas Chave

Aborda as distribuições gama, beta e log-normal e os papéis dos seus parâmetros. Prepara os estudantes para reconhecer e selecionar modelos apropriados para diversas formas de dados.

Aula 4 • Esperança e Variância para Variáveis Contínuas

Adapta as fórmulas de esperança e variância a integrais para distribuições contínuas. Reforça o cálculo de momentos como uma estrutura unificada entre tipos de variáveis.

Aula 1 • Distribuições Condicionais

Estende a probabilidade condicional a distribuições condicionais completas de uma variável dada outra. Liga a conceitos anteriores do teorema de Bayes numa estrutura distribucional.

Aula 2 • Distribuições de Probabilidade Conjuntas

Define FMPs e FDPs conjuntas para pares de variáveis aleatórias. Os estudantes extraem distribuições marginais somando ou integrando uma variável.

Aula 3 • Transformações de Variáveis Aleatórias

Deriva distribuições de funções de uma ou mais variáveis aleatórias. Aborda a técnica de mudança de variável e o jacobiano para casos contínuos.

Aula 4 • Distribuição Normal Multivariada

Introduz a distribuição normal bivariada e multivariada e a sua matriz de covariância. Os estudantes interpretam normais marginais e condicionais e o seu significado geométrico.

Aula 1 • Modos de Convergência

Distingue convergência em probabilidade, convergência quase certa e convergência em distribuição. Clarifica a hierarquia e as relações entre estes modos.

Aula 2 • Funções Geradoras de Momentos

Introduz FGM como ferramenta para derivar momentos e provar resultados distribucionais. Os estudantes usam FGM para estabelecer o TLC e identificar distribuições.

Aula 3 • Teorema do Limite Central

Prova que as médias amostrais padronizadas convergem para uma distribuição normal. Os estudantes aplicam o TLC para aproximar probabilidades de somas e médias.

Aula 4 • Desigualdades e Majorações de Probabilidade

Deriva as desigualdades de Markov e Chebyshev como ferramentas para majorar probabilidades na cauda. Fornece majorações rigorosas sem exigir conhecimento da distribuição completa.

Aula 1 • Intervalos de Confiança

Constrói intervalos de confiança para médias e proporções usando distribuições de amostragem. Os estudantes interpretam a probabilidade de cobertura e os compromissos na largura do intervalo.

Aula 2 • Testes Paramétricos Comuns

Aplica a estrutura de testes de hipóteses a testes z, testes t e testes qui-quadrado. Liga cada teste ao seu modelo de probabilidade subjacente.

Aula 3 • Distribuições de Amostragem

Deriva as distribuições de estatísticas amostrais como a média e a variância. Introduz as distribuições qui-quadrado, t e F como ferramentas para inferência.

Aula 4 • Estimação Pontual

Define propriedades de estimadores incluindo não enviesamento, consistência e eficiência. Os estudantes aplicam o método dos momentos e a estimação de máxima verosimilhança.

Aula 1 • Fundamentos da Teoria das Filas de Espera

Modela filas de espera usando estruturas M/M/1 e M/M/c. Os estudantes calculam o comprimento médio da fila, o tempo de espera e a utilização do servidor.

Aula 2 • Distribuições Estacionárias e Comportamento de Longo Prazo

Deriva distribuições estacionárias e condições para a sua existência e unicidade. Os estudantes interpretam probabilidades de estado estacionário em contextos aplicados.

Aula 3 • Processos de Poisson

Define o processo de Poisson através das suas propriedades de contagem e de tempo entre chegadas. Os estudantes derivam distribuições de tempos de chegada e aplicam o processo a sistemas reais.

Aula 4 • Análise de Fiabilidade e Sobrevivência

Aplica as distribuições exponencial e de Weibull para modelar tempos de vida de componentes. Os estudantes calculam taxas de falha, funções de sobrevivência e fiabilidade de sistemas.

Aula 5 • Cadeias de Markov em Tempo Discreto

Introduz a propriedade de Markov e as matrizes de probabilidade de transição. Os estudantes calculam probabilidades de transição em múltiplos passos e classificam estados.