Curs de Metode Numerice

Lecția 1 • Stabilitatea Algoritmilor și Condiționarea

Definește stabilitatea numerică și numerele de condiționare pentru probleme. Pregătește studenții să evalueze fiabilitatea algoritmilor înainte de implementare.

Lecția 2 • Configurarea Mediului de Programare

Configurează un mediu de calcul științific folosind un limbaj de nivel înalt. Asigură că toți studenții pot implementa și testa algoritmi începând cu capitolul doi.

Lecția 3 • Complexitatea Computațională și Eficiența

Introducere în notația Big-O și numărarea operațiilor pentru algoritmi numerici. Permite compararea costurilor între metode concurente.

Lecția 4 • Reprezentarea Numerelor în Virgulă Mobilă

Explică standardul IEEE 754 și epsilonul mașinii. Conectează limitele reprezentării la pierderea practică de precizie în calcul.

Lecția 1 • Metoda Bisecției și Metodele de Încadrare

Acoperă metoda bisecției și proprietățile sale garantate de convergență. Introducerea conceptului de încadrare ca fundament pentru găsitori de rădăcini mai avansați.

Lecția 2 • Sisteme de Ecuații Neliniare

Extinde găsirea scalară a rădăcinilor la sisteme multivariate folosind metoda lui Newton cu Jacobieni. Pregătește studenții pentru probleme neliniare în capitole aplicate ulterioare.

Lecția 3 • Metodele Secantei și Quasi-Newton

Prezintă alternative fără derivate la metoda lui Newton. Compară convergența superlineară cu costul evaluării derivatelor.

Lecția 4 • Iterarea Punctului Fix

Reformulează ecuațiile ca probleme de punct fix și analizează convergența. Construiește intuiția pentru scheme iterative utilizate în capitole ulterioare.

Lecția 1 • Eliminarea Gaussiană și Substituția Inversă

Implementează reducerea pe linii la forma triunghiulară superioară și substituția inversă. Stabilește soluționatorul direct de bază pentru toate metodele matriceale ulterioare.

Lecția 2 • Metode Iterative pentru Sisteme Liniare

Prezintă metodele Jacobi, Gauss-Seidel și gradientul conjugat pentru sisteme rare mari. Analizează criteriile de convergență și compară costul cu metodele directe.

Lecția 3 • Structuri Matriceale Speciale

Exploatează simetria, definirea pozitivă și raritatea pentru a reduce costul computațional. Introducere în factorizarea Cholesky și soluționatoare pentru matrice cu bandă.

Lecția 4 • Norme Matriceale și Numere de Condiționare

Cuantifică sensibilitatea soluției folosind norme matriceale și numere de condiționare. Aplică direct conceptele de analiză a erorilor din capitolul unu la sistemele liniare.

Lecția 1 • Interpolarea prin Spline Cubice

Construiește spline cubice pe porțiuni cu condiții de continuitate. Demonstrează netezime superioară față de polinoamele globale de grad înalt.

Lecția 2 • Analiza Erorii de Interpolare

Derivă limita erorii de interpolare și identifică fenomenul Runge. Motivează utilizarea nodurilor Cebîșev pentru a minimiza eroarea maximă.

Lecția 3 • Interpolarea Hermite și Osculatorie

Extinde interpolarea pentru a potrivi valorile derivatelor la noduri. Oferă baza teoretică pentru construcția splinelor cubice în secțiunea următoare.

Lecția 4 • Tehnici de Interpolare Multivariată

Extinde interpolarea la grile bidimensionale folosind metode biliniare și bicubice. Pregătește studenții pentru aplicații numerice în PDE și știința datelor.

Lecția 1 • Cuadratura Gaussiană

Selectează perechi optime de noduri și greutăți pentru a maximiza exactitatea polinomială. Demonstrează acuratețe superioară față de Newton-Cotes pentru integranzi netezi.

Lecția 2 • Extrapolarea Richardson și Integrarea Romberg

Aplică extrapolarea Richardson pentru a elimina sistematic termenii de eroare conducători. Construiește tabelul Romberg pentru integrare de înaltă acuratețe cu evaluări minime de funcții.

Lecția 3 • Formule cu Diferențe Finite

Derivă aproximări prin diferențe înainte, înapoi și centrate din seria Taylor. Stabilește acuratețe de ordinul întâi și doi pentru estimarea derivatelor.

Lecția 4 • Reguli de Cuadratură Newton-Cotes

Dezvoltă regulile trapezoidală, Simpson și Newton-Cotes de ordin superior. Derivă formele compuse și termenii lor de eroare pentru integrare practică.

Lecția 1 • Sisteme de EDO-uri și Ecuații de Ordin Superior

Convertește EDO-urile de ordin superior în sisteme de ordinul întâi și aplică soluționatoare vectoriale. Pregătește studenții pentru semi-discretizări cuplate în PDE în capitolul următor.

Lecția 2 • Metode Runge-Kutta

Dezvoltă metoda clasică RK4 și familia sa prin tablele Butcher. Echilibrează acuratețea și costul evaluării funcțiilor pentru probleme nerigide.

Lecția 3 • Metode cu Mai Mulți Pași

Prezintă schemele predictor-corector Adams-Bashforth și Adams-Moulton. Compară eficiența cu metodele cu un singur pas pentru integrarea lină pe termen lung.

Lecția 4 • Analiza Stabilității și Sisteme Rigide

Definește regiunile de stabilitate absolută și identifică EDO-urile rigide. Motivează soluționatoarele implicite, cum ar fi formulele de diferențiere înapoi pentru probleme rigide.

Lecția 1 • Diferențe Finite pentru PDE-uri Parabolice

Aplică scheme explicite și implicite ecuației căldurii. Derivă metoda Crank-Nicolson și acuratețea sa de ordinul doi în timp și spațiu.

Lecția 2 • Clasificarea și Discretizarea PDE-urilor

Clasifică PDE-urile ca eliptice, parabolice sau hiperbolice și selectează strategii de discretizare adecvate. Conectează metodele EDO din capitolul șase la metoda liniilor.

Lecția 3 • PDE-uri Hiperbolice și Ecuații de Undă

Rezolvă ecuațiile de advecție și undă folosind schemele upwind și Lax-Wendroff. Analizează difuzia și dispersia numerică ca metrici cheie de acuratețe.

Lecția 4 • Introducere în Metoda Elementelor Finite

Introducere în formularea slabă și metoda elementelor finite Galerkin pentru probleme cu condiții la limită 1D. Oferă o punte conceptuală către cursuri avansate de FEM.

Lecția 1 • Optimizare cu Constrângeri și Neliniară

Introducere în multiplicatorii Lagrange, metodele de penalizare și programarea pătratică secvențială. Pregătește studenții să rezolve probleme de proiectare inginerească și de potrivire a datelor cu constrângeri.

Lecția 2 • Descompunerea în Valori Singulare

Calculează SVD și o aplică la determinarea rangului, pseudoinversă și compresia datelor. Oferă cel mai robust instrument pentru probleme de cele mai mici pătrate prost condiționate.

Lecția 3 • Factorizarea QR și Metode Ortogonale

Descompune matrice prin Gram-Schmidt și reflexii Householder pentru cele mai mici pătrate stabile. Demonstrează stabilitate numerică superioară față de ecuațiile normale.

Lecția 4 • Metode de Optimizare fără Constrângeri

Aplică coborârea pe gradient, metoda lui Newton și actualizările quasi-Newton pentru a minimiza funcții netede. Analizează vitezele de convergență și strategiile de căutare pe linie.