Analysis Mathematikkurs

Lektion 1 • Beweistechniken und -strategien

Führt direkten Beweis, Widerspruch, Kontraposition und vollständige Induktion ein. Baut das Handwerkszeug auf, das die Studierenden bei der Verifikation jedes analytischen Ergebnisses anwenden.

Lektion 2 • Axiomatische Struktur der reellen Zahlen

Stellt die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom vor. Diese Axiome untermauern jeden Satz über Grenzwerte, Stetigkeit und Integration.

Lektion 3 • Funktionen und Mächtigkeit

Definiert Injektionen, Surjektionen und Bijektionen und klassifiziert dann unendliche Mengen. Mächtigkeitskonzepte erscheinen wieder bei der Untersuchung abzählbarer Vereinigungen und Maße.

Lektion 1 • Monotone Folgen und Teilfolgen

Stellt den Satz von der monotonen Konvergenz und den Satz von Bolzano-Weierstraß auf. Diese Ergebnisse sind grundlegend für Argumente zur Reihenkonvergenz und Kompaktheit.

Lektion 2 • Grenzwertsätze und algebraische Operationen

Beweist die Summen-, Produkt- und Quotientenregeln für Folgengrenzwerte. Ermöglicht die effiziente Berechnung von Grenzwerten, ohne jedes Mal Epsilon-N-Argumente zu wiederholen.

Lektion 3 • Konvergenz und die Epsilon-N-Definition

Formalisiert, was es für eine Folge bedeutet, mittels Epsilon-N zu konvergieren. Verbindet intuitive Vorstellungen von Nähe mit dem zuvor eingeführten Vollständigkeitsaxiom.

Lektion 1 • Stetigkeit und Arten von Unstetigkeiten

Definiert punktweise und gleichmäßige Stetigkeit und klassifiziert hebbare, Sprung- und wesentliche Unstetigkeiten. Bereitet die Studierenden auf die Integrationstheorie vor, die Stetigkeitsbedingungen erfordert.

Lektion 2 • Zentrale Sätze über stetige Funktionen

Beweist den Zwischenwertsatz und den Satz vom Maximum und Minimum. Diese Ergebnisse rechtfertigen Nullstellenfindungsalgorithmen und Optimierungsmethoden, die in angewandten Kapiteln verwendet werden.

Lektion 3 • Gleichmäßige Stetigkeit und Fortsetzungen

Vertieft die gleichmäßige Stetigkeit mit dem Satz von Heine-Cantor und Fortsetzungsergebnissen. Verbindet zur Integration, indem gezeigt wird, dass gleichmäßig stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind.

Lektion 1 • Satz von Taylor und Approximation

Leitet den Satz von Taylor mit den Restgliedformen von Lagrange und Peano her. Die Studierenden verwenden polynomiale Näherungen, um Funktionswerte zu schätzen und lokales Verhalten zu analysieren.

Lektion 2 • Differentiationsregeln und höhere Ableitungen

Beweist Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel streng. Höhere Ableitungen werden als Vorbereitung auf Taylor-Reihenentwicklungen eingeführt.

Lektion 3 • Mittelwertsätze und Anwendungen

Beweist den Satz von Rolle, den Mittelwertsatz und die verallgemeinerte Form von Cauchy. Diese Sätze liegen den Monotonietests, Fehlerschranken und der Regel von L'Hôpital zugrunde.

Lektion 4 • Regel von L'Hôpital und unbestimmte Formen

Beweist die Regel von L'Hôpital mithilfe des Mittelwertsatzes von Cauchy und wendet sie auf alle unbestimmten Formen an. Verstärkt das Zusammenspiel zwischen Grenzwerten und Ableitungen.

Lektion 1 • Eigenschaften des Riemann-Integrals

Begründet die Linearität, Monotonie und Additivität des Integrals über Teilintervalle. Diese Eigenschaften werden in Kapiteln über Reihen und uneigentliche Integrale wiederholt verwendet.

Lektion 2 • Klassen integrierbarer Funktionen

Beweist, dass stetige und monotone Funktionen Riemann-integrierbar sind. Identifiziert Funktionen mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen als integrierbar und erweitert damit die anwendbare Klasse.

Lektion 3 • Uneigentliche Integrale und Konvergenz

Erweitert das Riemann-Integral auf unbeschränkte Intervalle und unbeschränkte Integranden. Konvergenztests für uneigentliche Integrale bereiten die Studierenden auf Reihen und Fourier-Analysis vor.

Lektion 4 • Partitionen, Ober- und Untersummen

Definiert Partitionen, Darboux-Summen und das Riemann-Integral durch die Supremum-Infimum-Konstruktion. Verankert die Integration in der zuvor etablierten Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Lektion 1 • Reihen, Partialsummen und elementare Tests

Definiert die Reihenkonvergenz über Partialsummen und beweist den Divergenztest und die Formel für die geometrische Reihe. Verbindet Reihen mit der in Kapitel 2 behandelten Folgenkonvergenz.

Lektion 2 • Absolute und bedingte Konvergenz

Unterscheidet absolute von bedingter Konvergenz und beweist den Riemannschen Umordnungssatz. Hebt den strukturellen Unterschied zwischen den beiden Konvergenzarten hervor.

Lektion 3 • Quotienten-, Wurzel- und Leibniz-Kriterium

Begründet das Quotienten- und das Wurzelkriterium unter Verwendung des Limes superior und beweist das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen. Die Studierenden lernen, den effizientesten Test für eine gegebene Reihe auszuwählen.

Lektion 4 • Potenzreihen und Konvergenzradius

Definiert Potenzreihen, berechnet Konvergenzradien und beweist gliedweise Differentiation und Integration. Legt die Grundlage für das Kapitel über analytische Funktionen.

Lektion 1 • Erhaltungssätze unter gleichmäßiger Konvergenz

Beweist, dass gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen stetig sind und dass Grenzwerte und Integrale vertauscht werden können. Diese Sätze rechtfertigen gliedweise Operationen an Reihen.

Lektion 2 • Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Definiert punktweise und gleichmäßige Konvergenz und stellt sie anhand von Beispielen gegenüber. Die gleichmäßige Konvergenz wird als die Bedingung identifiziert, die benötigt wird, um Grenzwerte und Operationen zu vertauschen.

Lektion 3 • Weierstraßscher Approximationssatz

Formuliert und beweist den Weierstraßschen Approximationssatz unter Verwendung von Bernstein-Polynomen. Zeigt, dass stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen durch Polynome gleichmäßig approximierbar sind.

Lektion 4 • Taylor und analytische Funktionen

Definiert analytische Funktionen als solche, die mit ihrer Taylor-Reihe übereinstimmen, und identifiziert Bedingungen für die Gültigkeit von Taylor-Reihen. Erweitert die Differentationstheorie auf unendlich oft differenzierbare Funktionen.

Lektion 1 • Kompaktheit in metrischen Räumen

Charakterisiert Kompaktheit über Folgenkompaktheit und totale Beschränktheit. Beweist den Satz von Heine-Borel im euklidischen Raum als Spezialfall.

Lektion 2 • Zusammenhang und kontrahierende Abbildungen

Definiert zusammenhängende und wegzusammenhängende metrische Räume und beweist den Banachschen Fixpunktsatz. Das Kontraktionsprinzip hat direkte Anwendungen in Differentialgleichungen.

Lektion 3 • Metrische Räume: Definitionen und Beispiele

Führt die Axiome metrischer Räume ein und betrachtet Schlüsselbeispiele, darunter euklidische, diskrete und Funktionenräume. Liefert den abstrakten Rahmen, der die reelle Analysis umfasst.

Lektion 4 • Konvergenz und Vollständigkeit in metrischen Räumen

Erweitert Cauchy-Folgen und Vollständigkeit auf metrische Räume und beweist den Baireschen Kategoriensatz. Die Vollständigkeit wird als eine metrische, nicht topologische Eigenschaft gezeigt.