Cours d'analyse mathématique

Leçon 1 • Techniques et stratégies de démonstration

Présente la démonstration directe, par l'absurde, par contraposée et par récurrence. Construit la boîte à outils que les étudiants appliquent pour vérifier chaque résultat analytique.

Leçon 2 • Structure axiomatique des nombres réels

Présente les axiomes de corps, les axiomes d'ordre et l'axiome de complétude. Ces axiomes sous-tendent tous les théorèmes sur les limites, la continuité et l'intégration.

Leçon 3 • Fonctions et cardinalité

Définit les injections, les surjections et les bijections, puis classe les ensembles infinis. Les concepts de cardinalité réapparaissent lors de l'étude des unions dénombrables et de la mesure.

Leçon 1 • Suites monotones et sous-suites

Établit le théorème de convergence monotone et le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ces résultats sont fondamentaux pour la convergence des séries et les arguments de compacité.

Leçon 2 • Lois des limites et opérations algébriques

Démontre les règles de somme, de produit et de quotient pour les limites de suites. Permet un calcul efficace des limites sans répéter chaque fois les arguments epsilon-N.

Leçon 3 • Convergence et définition epsilon-N

Formalise ce que signifie pour une suite de converger en utilisant epsilon-N. Relie les notions intuitives de proximité à l'axiome de complétude introduit précédemment.

Leçon 1 • Continuité et types de discontinuité

Définit la continuité ponctuelle et uniforme et classe les discontinuités de type saut, réductible et essentielle. Prépare les étudiants à la théorie de l'intégration qui nécessite des conditions de continuité.

Leçon 2 • Théorèmes clés sur les fonctions continues

Démontre le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des valeurs extrêmes. Ces résultats justifient les algorithmes de recherche de racines et les méthodes d'optimisation utilisés dans les chapitres appliqués.

Leçon 3 • Continuité uniforme et prolongements

Approfondit la continuité uniforme avec le théorème de Heine-Cantor et les résultats de prolongement. Établit un lien avec l'intégration en montrant que les fonctions uniformément continues sont Riemann-intégrables.

Leçon 1 • Théorème de Taylor et approximation

Dérive le théorème de Taylor avec les formes du reste de Lagrange et de Peano. Les étudiants utilisent des approximations polynomiales pour estimer les valeurs des fonctions et analyser le comportement local.

Leçon 2 • Règles de dérivation et dérivées d'ordre supérieur

Démontre rigoureusement les règles de somme, de produit, de quotient et de dérivation en chaîne. Les dérivées d'ordre supérieur sont introduites en préparation aux développements en séries de Taylor.

Leçon 3 • Théorèmes de la valeur moyenne et applications

Démontre le théorème de Rolle, le théorème de la valeur moyenne et la forme généralisée de Cauchy. Ces théorèmes sous-tendent les tests de monotonie, les bornes d'erreur et la règle de L'Hôpital.

Leçon 4 • Règle de L'Hôpital et formes indéterminées

Démontre la règle de L'Hôpital à l'aide du théorème de la valeur moyenne de Cauchy et l'applique à toutes les formes indéterminées. Renforce l'interaction entre les limites et les dérivées.

Leçon 1 • Propriétés de l'intégrale de Riemann

Établit la linéarité, la monotonie et l'additivité de l'intégrale sur les sous-intervalles. Ces propriétés sont utilisées de façon répétée dans les chapitres sur les séries et les intégrales impropres.

Leçon 2 • Classes de fonctions intégrables

Démontre que les fonctions continues et monotones sont Riemann-intégrables. Identifie les fonctions présentant un nombre fini de discontinuités comme intégrables, élargissant ainsi la classe applicable.

Leçon 3 • Intégrales impropres et convergence

Étend l'intégrale de Riemann aux intervalles non bornés et aux fonctions non bornées. Les tests de convergence pour les intégrales impropres préparent les étudiants à l'analyse des séries et de Fourier.

Leçon 4 • Partitions, sommes supérieures et inférieures

Définit les partitions, les sommes de Darboux et l'intégrale de Riemann via la construction sup-inf. Ancre l'intégration dans la complétude des réels établie précédemment.

Leçon 1 • Séries, sommes partielles et tests de base

Définit la convergence des séries via les sommes partielles et démontre le test de divergence et la formule de la série géométrique. Établit un lien avec la convergence des suites étudiée au chapitre 2.

Leçon 2 • Convergence absolue et conditionnelle

Distingue la convergence absolue de la convergence conditionnelle et démontre le théorème de réarrangement de Riemann. Met en évidence la différence structurelle entre les deux types de convergence.

Leçon 3 • Tests du rapport, de la racine et des séries alternées

Établit les tests du rapport et de la racine en utilisant la limsup et démontre le test des séries alternées. Les étudiants apprennent à sélectionner le test le plus efficace pour une série donnée.

Leçon 4 • Séries entières et rayon de convergence

Définit les séries entières, calcule les rayons de convergence et démontre la dérivation et l'intégration terme à terme. Pose les bases pour le chapitre sur les fonctions analytiques.

Leçon 1 • Théorèmes de préservation sous convergence uniforme

Démontre que les limites uniformes de fonctions continues sont continues et que les limites et les intégrales s'intervertissent. Ces théorèmes justifient les opérations terme à terme sur les séries.

Leçon 2 • Convergence ponctuelle et uniforme

Définit la convergence ponctuelle et uniforme et les contraste à l'aide d'exemples. La convergence uniforme est identifiée comme la condition nécessaire pour intervertir les limites et les opérations.

Leçon 3 • Théorème d'approximation de Weierstrass

Énonce et démontre le théorème d'approximation de Weierstrass à l'aide des polynômes de Bernstein. Démontre que les fonctions continues sur des intervalles fermés sont approximables uniformément par des polynômes.

Leçon 4 • Séries de Taylor et fonctions analytiques

Définit les fonctions analytiques comme celles qui sont égales à leur série de Taylor et identifie les conditions de validité de la série de Taylor. Étend la théorie de la dérivation aux fonctions indéfiniment dérivables.

Leçon 1 • Compacité dans les espaces métriques

Caractérise la compacité via la compacité séquentielle et la précompacité. Démontre le théorème de Heine-Borel dans l'espace euclidien comme cas particulier.

Leçon 2 • Connexité et applications contractantes

Définit les espaces métriques connexes et connexes par arcs et démontre le théorème du point fixe de Banach. Le principe de contraction a des applications directes dans les équations différentielles.

Leçon 3 • Espaces métriques : définitions et exemples

Introduit les axiomes d'espace métrique et examine les exemples clés, y compris les espaces euclidiens, discrets et fonctionnels. Fournit le cadre abstrait qui englobe l'analyse de la droite réelle.

Leçon 4 • Convergence et complétude dans les espaces métriques

Étend les suites de Cauchy et la complétude aux espaces métriques et démontre le théorème de catégorie de Baire. On montre que la complétude est une propriété métrique, et non topologique.