Cours d'optimisation mathématique pour ingénieurs

Leçon 1 • Fondements de la formulation de problèmes

Traduit des scénarios d'ingénierie en modèles mathématiques. Relie les besoins du monde réel aux structures d'optimisation formelles.

Leçon 2 • Révision des prérequis mathématiques

Passe en revue les éléments essentiels du calcul infinitésimal, de l'algèbre linéaire et de la théorie des ensembles. Assure que les étudiants peuvent manipuler les objets mathématiques utilisés en optimisation.

Leçon 3 • Concepts de base et terminologie

Définit les fonctions objectifs, les variables de décision et les contraintes. Établit le vocabulaire utilisé dans toutes les méthodes d'optimisation subséquentes.

Leçon 1 • Analyse de sensibilité et de post-optimalité

Analyse comment les solutions optimales changent avec les perturbations des paramètres. Soutient une prise de décision d'ingénierie robuste en contexte d'incertitude.

Leçon 2 • Théorie de la dualité

Dérive les problèmes PL duaux et prouve la dualité forte. Permet l'analyse de sensibilité et l'interprétation économique des contraintes.

Leçon 3 • Forme standard et géométrie

Convertit les problèmes PL en forme standard et visualise les polytopes réalisables. Établit une intuition géométrique pour la méthode du simplexe.

Leçon 4 • La méthode du simplexe

Développe l'algorithme complet du simplexe, des règles de pivot à la terminaison. Fournit l'outil de calcul principal pour les problèmes PL.

Leçon 1 • Conditions d'optimalité pour les fonctions lisses

Dérive les conditions nécessaires et suffisantes du premier et du second ordre. Fournit la base théorique de tous les algorithmes basés sur le gradient.

Leçon 2 • Méthodes d'optimisation sans dérivée

Couvre les méthodes de Nelder-Mead, la recherche par motifs et les méthodes basées sur un modèle de substitution. Aborde les problèmes où les gradients sont indisponibles ou peu fiables.

Leçon 3 • Descente de gradient et gradient conjugué

Implémente les algorithmes de la plus forte pente et du gradient conjugué. Compare les taux de convergence pour des objectifs quadratiques et généraux.

Leçon 4 • Stratégies de recherche linéaire

Couvre les méthodes de recherche linéaire exacte et inexacte pour la sélection de la longueur de pas. Assure une diminution suffisante et des conditions de courbure dans les méthodes itératives.

Leçon 1 • Méthodes de pénalité et de barrière

Convertit les problèmes avec contraintes en séquences sans contraintes via des pénalités. Relie la théorie avec contraintes aux solveurs sans contraintes déjà maîtrisés.

Leçon 2 • Techniques pratiques de gestion des contraintes

Aborde les contraintes de bornes, la mise à l'échelle des variables et le démarrage à chaud. Améliore la robustesse et l'efficacité du solveur dans les applications d'ingénierie réelles.

Leçon 3 • Conditions d'optimalité KKT

Dérive les conditions de Karush-Kuhn-Tucker pour les problèmes avec contraintes. Fournit le fondement théorique de tous les algorithmes d'optimisation avec contraintes.

Leçon 4 • Programmation quadratique séquentielle

Résout un NLP avec contraintes en itérant des sous-problèmes quadratiques. Atteint une convergence rapide pour les problèmes de conception d'ingénierie lisses.

Leçon 1 • Ensembles convexes et fonctions convexes

Définit la convexité de manière rigoureuse et identifie les opérations préservant la convexité. Permet la reconnaissance de la structure convexe dans les modèles d'ingénierie.

Leçon 2 • Dualité lagrangienne et fonctions conjuguées

Développe la relaxation lagrangienne et la théorie des fonctions conjuguées. Fournit des outils pour dériver des problèmes duaux et borner les objectifs primaux.

Leçon 3 • Méthodes de sous-gradient et proximales

Étend les méthodes de gradient aux objectifs convexes non lisses. Gère la régularisation L1 et d'autres objectifs d'ingénierie non différentiables.

Leçon 4 • Formulations de programmation conique

Présente les programmes coniques du second ordre et semi-définis comme généralisations convexes de la PL. Élargit la classe des problèmes d'ingénierie traitables.

Leçon 1 • Méthodes de plans coupants

Renforce les relaxations PL avec des inégalités valides pour accélérer la résolution MIP. Complète la séparation et l'évaluation dans le cadre de la séparation et de la coupe.

Leçon 2 • Heuristiques et métaheuristiques

Couvre les heuristiques gloutonnes, de recherche locale et basées sur les populations pour les grands MIP. Fournit des outils pratiques lorsque les méthodes exactes sont computationnellement irréalisables.

Leçon 3 • Programmation dynamique pour les problèmes discrets

Applique le principe de Bellman à l'optimisation discrète séquentielle. Résout exactement les problèmes de plus court chemin, de sac à dos et d'ordonnancement.

Leçon 4 • Algorithme de séparation et d'évaluation

Développe la recherche arborescente par séparation et évaluation pour les solutions entières exactes. Fournit le moteur algorithmique central derrière les solveurs MIP modernes.

Leçon 1 • Contraintes de chance et CVaR

Encode les exigences de faisabilité probabiliste et les objectifs de risque extrême. Gère les contraintes de sécurité et de fiabilité dans la conception d'ingénierie.

Leçon 2 • Programmation stochastique en deux étapes

Formule les décisions « ici et maintenant » vs « attendre et voir » selon les scénarios. Résout les problèmes de recours issus de la planification d'ingénierie sous incertitude.

Leçon 3 • Modélisation de l'incertitude en ingénierie

Caractérise l'incertitude des paramètres via des distributions de probabilité et des ensembles d'incertitude. Motive le besoin de formulations stochastiques et robustes.

Leçon 4 • Méthodes de décomposition et d'échantillonnage

Applique la décomposition de Benders et l'échantillonnage de Monte Carlo aux grands programmes stochastiques. Permet une résolution à l'échelle de problèmes d'incertitude d'ingénierie réels.

Leçon 1 • Validation du modèle et rapport de solution

Couvre la vérification, l'analyse comparative et la communication professionnelle des résultats d'optimisation. Assure que les solutions d'ingénierie répondent aux normes de qualité et d'interprétabilité.

Leçon 2 • Optimisation de la chaîne d'approvisionnement et de la logistique

Modélise la localisation des installations, le routage et les stocks comme des problèmes MIP. Relie la théorie de l'optimisation combinatoire à la pratique du génie industriel.

Leçon 3 • Optimisation de la conception structurale et mécanique

Applique la NLP et l'optimisation topologique aux problèmes de poids et de conformité structurale. Démontre un flux de travail d'optimisation de bout en bout en génie mécanique.

Leçon 4 • Optimisation des systèmes énergétiques et des réseaux

Optimise la répartition de la puissance, les réseaux de flux et la planification du stockage d'énergie. Applique les méthodes PL, MIP et stochastiques aux problèmes d'ingénierie énergétique.