Cours de calcul différentiel et intégral

Leçon 1 • Techniques algébriques essentielles

Passe en revue la factorisation, les expressions rationnelles et les règles des exposants, essentielles pour simplifier les expressions de calcul différentiel. Empêche les erreurs algébriques d'obscurcir les concepts de calcul.

Leçon 2 • Fonctions exponentielles et logarithmiques

Examine les modèles de croissance/décroissance, la base naturelle e et les lois des logarithmes. Ces fonctions apparaissent à répétition dans les chapitres sur la dérivation et l'intégration.

Leçon 3 • Fonctions et leurs représentations

Définit formellement les fonctions et explore quatre représentations : verbale, algébrique, numérique et graphique. Fait le lien entre les définitions abstraites et l'intuition visuelle.

Leçon 4 • Nombres, ensembles et droite réelle

Couvre les propriétés des nombres réels, la notation d'intervalle et la valeur absolue. Établit le langage numérique utilisé dans tous les concepts de calcul différentiel et intégral.

Leçon 1 • Continuité des fonctions

Définit la continuité en un point et sur un intervalle, classifie les discontinuités et énonce le théorème des valeurs intermédiaires. Prépare les étudiants aux conditions de dérivabilité.

Leçon 2 • Définition formelle d'une limite

Présente la définition epsilon-delta et l'utilise pour vérifier rigoureusement les valeurs limites. Développe la précision logique qui sous-tend toutes les démonstrations en calcul.

Leçon 3 • Limites impliquant l'infini

Analyse les limites infinies et les limites à l'infini pour décrire les asymptotes verticales et horizontales. Relie le comportement des limites à l'allure à long terme des graphiques de fonctions.

Leçon 4 • Calcul algébrique des limites

Applique les lois des limites, la factorisation, la rationalisation et la substitution pour évaluer exactement les limites. Permet directement le calcul de la dérivée dans le chapitre suivant.

Leçon 1 • Dérivation implicite et dérivées d'ordre supérieur

Dérive les relations définies implicitement et calcule les dérivées d'ordre supérieur. Prépare les étudiants aux problèmes de taux liés et à l'analyse de la concavité.

Leçon 2 • La dérivée comme taux de variation

Relie le taux de variation moyen au taux instantané via la limite du quotient des différences. Ancre la dérivée dans une signification physique et géométrique.

Leçon 3 • Règle de dérivation en chaîne

Présente la règle de dérivation en chaîne pour dériver des fonctions composées et l'applique à des expressions imbriquées. Débloque la dérivation des composés exponentiels, logarithmiques et trigonométriques.

Leçon 4 • Règles de base de la dérivation

Introduit les règles de la puissance, de la constante, de la somme et de la différence pour une dérivation efficace. Réduit la dépendance à la définition de la limite pour les fonctions polynomiales standard.

Leçon 1 • Approximation linéaire et différentielles

Utilise la droite tangente pour approximer les valeurs d'une fonction près d'un point connu. Introduit les différentielles comme outil pour estimer l'erreur et la sensibilité.

Leçon 2 • Taux liés (ou problèmes de taux de variation liés)

Utilise la dérivation implicite par rapport au temps pour relier des grandeurs qui changent. Développe une stratégie systématique de résolution de problèmes pour des scénarios dynamiques du monde réel.

Leçon 3 • Valeurs extrêmes et points critiques

Identifie les extremums absolus et locaux à l'aide du théorème des valeurs extrêmes et des points critiques. Fournit la base analytique pour les problèmes d'optimisation.

Leçon 4 • Esquisse de courbes à l'aide des dérivées

Applique les tests de la dérivée première et seconde pour déterminer la monotonie, la concavité et les points d'inflexion. Intègre les connaissances sur les limites et les dérivées dans une analyse graphique complète.

Leçon 5 • Problèmes d'optimisation

Traduit des problèmes formulés en mots en fonctions objectifs et utilise le calcul pour trouver des valeurs optimales. Applique la boîte à outils complète des dérivées à des scénarios pratiques de prise de décision.

Leçon 1 • Règle de substitution pour l'intégration

Applique la substitution-u comme contrepartie intégrale de la règle de dérivation en chaîne. Élargit la classe d'intégrales que les étudiants peuvent évaluer analytiquement.

Leçon 2 • Aire et sommes de Riemann

Approxime l'aire sous une courbe à l'aide des sommes de Riemann à gauche, à droite et au point milieu. Motive l'intégrale définie comme la limite de partitions de plus en plus fines.

Leçon 3 • Théorème fondamental du calcul intégral

Démontre les deux parties du théorème fondamental, reliant la dérivation et l'intégration. Permet l'évaluation exacte des intégrales définies à l'aide de primitives.

Leçon 4 • Primitives et intégrales indéfinies

Introduit la recherche de primitive comme l'inverse de la dérivation et établit la notation intégrale. Construit le pont conceptuel entre les dérivées et les intégrales.

Leçon 1 • Substitution trigonométrique

Remplace les radicaux algébriques par des substitutions trigonométriques pour simplifier les intégrandes. Traite les intégrales impliquant des racines carrées d'expressions quadratiques.

Leçon 2 • Intégrales impropres

Étend l'intégration aux intervalles non bornés et aux fonctions avec des discontinuités infinies en utilisant des limites. Introduit la convergence et la divergence des intégrales impropres.

Leçon 3 • Intégration par parties

Dérive la formule d'intégration par parties à partir de la règle du produit et l'applique systématiquement. Traite les produits de polynômes, d'exponentielles et de logarithmes.

Leçon 4 • Décomposition en fractions partielles

Décompose les fonctions rationnelles en fractions plus simples pour l'intégration. Couvre les facteurs linéaires distincts, les facteurs linéaires répétés et les facteurs quadratiques irréductibles.

Leçon 1 • Travail, force et applications physiques

Modélise des quantités physiques telles que le travail, la force hydrostatique et le centre de masse à l'aide d'intégrales. Démontre le calcul comme un outil pour les problèmes d'ingénierie et de physique.

Leçon 2 • Valeur moyenne et théorème de la valeur moyenne pour les intégrales

Définit la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et démontre le théorème de la valeur moyenne intégral. Relie l'intégration aux concepts de moyenne en statistique et en physique.

Leçon 3 • Aire entre les courbes

Calcule l'aire comprise entre deux fonctions en intégrant leur différence. Nécessite une identification minutieuse des points d'intersection et des bornes d'intégration.

Leçon 4 • Longueur d'arc et aire de surfaces

Dérive et applique les formules pour la longueur d'une courbe et l'aire d'une surface de révolution. Étend l'intégration aux mesures géométriques unidimensionnelles et bidimensionnelles.

Leçon 1 • Séries entières et rayon de convergence

Définit les séries entières, trouve les rayons et les intervalles de convergence, et les dérive ou intègre terme à terme. Fait le pont entre la théorie des séries et la représentation des fonctions.

Leçon 2 • Critères de convergence pour les séries

Applique les critères de l'intégrale, de comparaison, du rapport et de la racine pour déterminer la convergence des séries. Équipe les étudiants d'une boîte à outils systématique pour classifier le comportement des séries.

Leçon 3 • Séries infinies et convergence

Introduit les sommes partielles, les séries géométriques et le critère de divergence. Établit le cadre pour déterminer si une somme infinie a une valeur finie.

Leçon 4 • Séries de Taylor et de Maclaurin

Construit les séries de Taylor et de Maclaurin pour les fonctions standard et estime l'erreur avec le terme reste. Fournit des approximations polynomiales centrales en mathématiques appliquées.