Cours de finance mathématique

Leçon 1 • Révision des probabilités et des statistiques

Présente les espaces de probabilité, les variables aléatoires et les distributions clés pertinentes pour les rendements d'actifs. Fournit le vocabulaire statistique nécessaire à la modélisation stochastique ultérieure.

Leçon 2 • Algèbre linéaire pour la finance

Couvre les vecteurs, les matrices et les systèmes d'équations comme outils pour la construction de portefeuille et les modèles factoriels. Relie les opérations matricielles aux problèmes de valorisation multi-actifs.

Leçon 3 • Notions essentielles de calcul différentiel et intégral pour la valorisation

Revise la différenciation, l'intégration et les techniques d'optimisation appliquées aux fonctions financières. Prépare les étudiants à dériver des formules de valorisation et des mesures de sensibilité.

Leçon 1 • Principes fondamentaux de la valorisation des obligations

Obtient les prix des obligations à partir des flux de trésorerie actualisés et relie la structure du coupon au rendement du marché. Ancre l'analyse du revenu fixe dans le cadre de la valeur temporelle de l'argent du chapitre 1.

Leçon 2 • Duration, convexité et sensibilité

Quantifie la sensibilité du prix aux variations de rendement à l'aide des mesures de duration et de convexité. Permet la couverture de l'exposition aux taux d'intérêt dans les portefeuilles à revenu fixe.

Leçon 3 • Gestion du risque de taux d'intérêt

Applique la duration et la convexité pour couvrir les portefeuilles obligataires contre les déplacements parallèles et non parallèles de la courbe des taux. Introduit les durations par taux clés pour un contrôle granulaire du risque.

Leçon 1 • Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

Introduit le risque systématique vs. le risque idiosyncratique et dérive la droite de marché des titres du MEDAF. Fournit une référence pour les rendements attendus utilisée dans l'évaluation des actions.

Leçon 2 • Modèles multifactoriels

Étend le MEDAF aux cadres de Fama-French et de la théorie d'arbitrage des prix pour une attribution de rendement plus riche. Permet la construction de portefeuille basée sur des facteurs et la décomposition du risque.

Leçon 3 • Mesure du rendement et du risque

Définit les rendements arithmétiques et géométriques, la volatilité et les mesures de risque de baisse pour les actions. Établit le socle statistique pour l'optimisation de portefeuille.

Leçon 4 • Optimisation moyenne-variance

Obtient la frontière efficiente en utilisant l'optimisation de Markowitz et identifie le portefeuille de variance minimale. Relie l'algèbre linéaire du chapitre 1 à l'allocation multi-actifs.

Leçon 1 • Mouvement brownien et marches aléatoires

Définit les processus de Wiener et leurs propriétés comme limite en temps continu des marches aléatoires. Fournit le moteur probabiliste pour tous les modèles financiers en temps continu.

Leçon 2 • Lemme d'Itô et changement de variable

Obtient le lemme d'Itô et l'applique pour transformer des fonctions de processus stochastiques. Permet la dérivation de l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes et d'autres équations de valorisation.

Leçon 3 • Équations différentielles stochastiques

Formule des EDS pour les prix d'actifs et les taux d'intérêt et classifie leurs termes de dérive et de diffusion. Construit le langage de modélisation utilisé dans la tarification des options et les modèles de taux.

Leçon 1 • Volatilité implicite et surface de volatilité

Extrait la volatilité implicite des prix de marché et analyse le sourire et l'asymétrie (skew) de la volatilité. Révèle les limites du modèle de Black-Scholes et motive les extensions.

Leçon 2 • Les Grecques et l'analyse de sensibilité

Calcule le delta, le gamma, le véga, le thêta et le rhô et interprète leur rôle dans la couverture et la gestion des risques. Permet la mise en œuvre de stratégies de couverture dynamiques pour les portefeuilles d'options.

Leçon 3 • Contrats d'options et structures de gain

Définit les options d'achat et de vente, la monétarité et les diagrammes de gain pour les contrats standards. Ancre la valorisation des produits dérivés dans la mécanique contractuelle avant d'introduire les modèles.

Leçon 4 • Déduction du modèle de Black-Scholes

Obtient l'EDP de Black-Scholes en utilisant la couverture en delta et le lemme d'Itô, puis la résout pour obtenir le prix de forme fermée. Relie le calcul stochastique du chapitre 4 à une formule de valorisation pratique.

Leçon 1 • Principes fondamentaux de la simulation de Monte Carlo

Génère des trajectoires de prix d'actifs sous la mesure neutre au risque et estime les prix des options en faisant la moyenne des gains. Fournit un moteur de valorisation flexible pour les produits à dépendance de chemin du chapitre 6.

Leçon 2 • Techniques de réduction de variance

Applique l'échantillonnage préférentiel, l'échantillonnage stratifié et les séquences quasi-aléatoires pour améliorer l'efficacité de la simulation. Réduit le coût de calcul tout en maintenant la précision de la valorisation.

Leçon 3 • Méthodes de Fourier et de transformée

Utilise les fonctions caractéristiques et la transformée de Fourier rapide pour valoriser les options sous des modèles de rendement non normaux. Étend la capacité de valorisation au-delà de Black-Scholes aux modèles à sauts et à volatilité stochastique.

Leçon 4 • Calibration et ajustement de modèle

Ajuste les paramètres du modèle aux prix de marché en utilisant l'optimisation par moindres carrés et par gradient. Relie les méthodes numériques au déploiement pratique de modèles dans les systèmes de trading et de risque.

Leçon 1 • Produits dérivés de taux d'intérêt

Valorise les caps, les floors, les swaptions et les swaps de taux d'intérêt en utilisant les modèles de marché et la formule de Black. Étend les connaissances en revenu fixe du chapitre 2 dans l'univers des produits dérivés.

Leçon 2 • Produits structurés et options intégrées

Décompose les obligations convertibles, les obligations remboursables par anticipation et les notes liées à des actions en leurs composantes dérivées. Permet la valorisation et l'évaluation des risques des produits structurés de détail et institutionnels.

Leçon 3 • Options à dépendance de chemin

Analyse les options asiatiques, à barrière, lookback et digitales dont le gain dépend de la trajectoire du prix. Nécessite les méthodes de Monte Carlo et EDP introduites au chapitre 7.

Leçon 1 • Tests de résistance et analyse de scénarios

Conçoit des scénarios de stress historiques et hypothétiques pour évaluer la résilience du portefeuille dans des conditions extrêmes. Termine le cadre de risque avec des outils prospectifs au-delà des modèles statistiques.

Leçon 2 • Modélisation du risque de crédit

Modélise la probabilité de défaut, la perte en cas de défaut et l'exposition au crédit en utilisant des approches structurelles et de forme réduite. Permet la valorisation des dérivés de crédit et le calcul du capital de crédit.

Leçon 3 • Risque de contrepartie et XVA

Quantifie l'exposition de la contrepartie via les ajustements CVA, DVA et FVA sur les portefeuilles de produits dérivés. Reflète la pratique post-crise du secteur pour la valorisation du risque de crédit bilatéral.

Leçon 4 • Méthodologies de la valeur en risque (VaR)

Calcule la VaR en utilisant la simulation historique, la variance-covariance et les approches de Monte Carlo. Établit la métrique de risque principale utilisée dans la gestion du risque de portefeuille de négociation.