Corso di meccanica quantistica

Lezione 1 • Equazioni differenziali per fisici

Ripassa le equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali essenziali per risolvere l'equazione di Schrödinger. Pone l'accento sulle condizioni al contorno e sulla separazione delle variabili.

Lezione 2 • Operatori, matrici e autovalori

Presenta gli operatori lineari e le loro rappresentazioni matriciali, per poi derivare le equazioni agli autovalori. Gli autovalori diventano le quantità misurabili nella teoria quantistica.

Lezione 3 • Elementi essenziali di probabilità e statistica

Stabilisce le distribuzioni di probabilità, i valori di aspettazione e la varianza necessari per interpretare i risultati delle misure quantistiche. Supporta direttamente la regola di Born introdotta in seguito.

Lezione 4 • Analisi di Fourier e trasformate

Sviluppa le serie di Fourier e la trasformata di Fourier come strumenti per passare dalla rappresentazione della posizione a quella del momento. Getta le basi per l'analisi dei pacchetti d'onda.

Lezione 1 • Notazione di Dirac e spazio di Hilbert

Formalizza la notazione bra-ket e la struttura dello spazio di Hilbert come arena per gli stati quantistici. Collega la notazione astratta alle rappresentazioni concrete in forma matriciale e funzionale.

Lezione 2 • I postulati della meccanica quantistica

Enuncia i cinque postulati fondamentali che governano i vettori di stato, le osservabili, la misura e l'evoluzione temporale. Ogni postulato è collegato a un esempio fisico concreto.

Lezione 3 • Sovrapposizione quantistica e interferenza

Analizza la sovrapposizione come caratteristica fondamentale che distingue i sistemi quantistici da quelli classici. Dimostra l'interferenza attraverso l'esperimento della doppia fenditura e l'interferometro di Mach-Zehnder.

Lezione 4 • Principi di indeterminazione

Deriva la relazione di indeterminazione di Heisenberg dall'algebra dei commutatori degli operatori. La estende alla relazione di indeterminazione generalizzata di Robertson per osservabili arbitrarie.

Lezione 1 • Oscillatore armonico quantistico

Risolve l'oscillatore armonico sia con il metodo dell'equazione differenziale che con il metodo algebrico degli operatori scaletta. Stabilisce l'energia di punto zero e le funzioni d'onda dei polinomi di Hermite.

Lezione 2 • Stati stazionari e l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo

Separa le variabili per ottenere l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo e definisce gli stati stazionari. Mostra come gli autostati dell'energia formino una base completa per le soluzioni generali.

Lezione 3 • Particella in una buca

Risolve esattamente la buca di potenziale infinita per illustrare quantizzazione, normalizzazione e ortogonalità. Estende alla buca di potenziale finita per introdurre le condizioni al contorno di tunneling.

Lezione 4 • Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo

Deriva l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo dalla corrispondenza energia-operatore e ne analizza la struttura generale. Stabilisce la corrente di probabilità e la continuità come leggi di conservazione.

Lezione 1 • Armoniche sferiche

Costruisce le armoniche sferiche come autofunzioni angolari e ne analizza le proprietà di simmetria. Fornisce la parte angolare di tutte le funzioni d'onda per potenziali centrali.

Lezione 2 • Equazione di Schrödinger 3D in coordinate cartesiane

Generalizza l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo a tre dimensioni e risolve la particella in una buca 3D. Introduce la degenerazione come conseguenza della simmetria spaziale.

Lezione 3 • Potenziale centrale ed equazione radiale

Separa l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo 3D in parte radiale e angolare per qualsiasi potenziale centrale. Risolve l'equazione radiale per l'atomo di idrogeno e l'oscillatore armonico 3D.

Lezione 4 • Operatori del momento angolare

Deriva gli operatori del momento angolare orbitale e le loro relazioni di commutazione in coordinate sferiche. Stabilisce gli autostati simultanei di L² e Lz.

Lezione 1 • Spin intrinseco e l'esperimento di Stern-Gerlach

Motiva lo spin attraverso l'esperimento di Stern-Gerlach e definisce lo spin-1/2 come sistema a due stati. Stabilisce gli operatori di spin e le loro relazioni di commutazione.

Lezione 2 • Somma di momenti angolari

Combina due momenti angolari usando i coefficienti di Clebsch-Gordan e la regola del triangolo. Applica il formalismo all'accoppiamento spin-orbita e ai sistemi a due elettroni.

Lezione 3 • Momenti magnetici e spin in campi esterni

Collega lo spin al momento magnetico e analizza la dinamica dello spin in campi magnetici esterni. Deriva la precessione di Larmor e la descrizione quantistica della risonanza magnetica.

Lezione 4 • Matrici di Pauli e algebra dello spin-1/2

Presenta le matrici di Pauli come rappresentazione matriciale degli operatori di spin-1/2. Deriva le probabilità di misura dello spin e i valori di aspettazione per stati di spin arbitrari.

Lezione 1 • Indistinguibilità e simmetria di scambio

Stabilisce perché le particelle quantistiche sono fondamentalmente indistinguibili e introduce l'operatore di scambio. Deriva il requisito di funzioni d'onda simmetriche o antisimmetriche.

Lezione 2 • Applicazioni alla materia condensata

Applica la statistica quantistica al gas di elettroni liberi, ai fononi e alla condensazione di Bose-Einstein. Collega la statistica quantistica microscopica alle proprietà macroscopiche dei materiali.

Lezione 3 • Distribuzioni statistiche quantistiche

Deriva le distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein dai vincoli di simmetria e le confronta con la statistica di Maxwell-Boltzmann. Introduce il concetto di potenziale chimico.

Lezione 4 • Bosoni, fermioni e il teorema spin-statistica

Classifica le particelle come bosoni o fermioni in base allo spin intero o semi-intero. Enuncia il teorema spin-statistica e le sue profonde implicazioni fisiche.

Lezione 1 • Teoria perturbativa dipendente dal tempo

Sviluppa la regola d'oro di Fermi per i tassi di transizione sotto perturbazioni dipendenti dal tempo. Applica il risultato all'assorbimento, all'emissione e alle regole di selezione negli atomi.

Lezione 2 • Approssimazione WKB

Deriva le funzioni d'onda WKB nelle regioni classicamente permesse e proibite usando il limite semiclassico. Applica le formule di connessione al tunneling e alle condizioni di quantizzazione.

Lezione 3 • Principio e metodo variazionale

Dimostra il teorema variazionale e utilizza funzioni d'onda di prova per stimare le energie dello stato fondamentale. Applica il metodo all'elio e a semplici sistemi molecolari.

Lezione 4 • Teoria perturbativa per sistemi degeneri

Gestisce la degenerazione diagonalizzando la perturbazione all'interno del sottospazio degenere. Applica il metodo all'effetto Stark e all'effetto Zeeman nell'idrogeno.

Lezione 1 • Algoritmi quantistici e correzione degli errori

Presenta l'algoritmo di ricerca di Grover e l'algoritmo di fattorizzazione di Shor come dimostrazioni del vantaggio quantistico. Introduce i codici stabilizzatori come fondamento della correzione quantistica degli errori.

Lezione 2 • Disuguaglianze di Bell e nonlocalità quantistica

Deriva le disuguaglianze di Bell come test delle teorie a variabili nascoste locali e interpreta le violazioni sperimentali. Stabilisce la nonlocalità quantistica come fenomeno fisico verificato.

Lezione 3 • Entanglement quantistico

Definisce l'entanglement attraverso la non separabilità degli stati di sistemi compositi e lo quantifica con misure di entropia. Analizza gli stati di Bell e il loro ruolo nelle correlazioni quantistiche.

Lezione 4 • Formalismo della matrice densità

Introduce l'operatore densità come descrizione generale degli stati quantistici puri e misti. Deriva l'equazione di von Neumann come analogo, per la matrice densità, dell'equazione di Schrödinger.