Curso de Análise Complexa

Aula 1 • Álgebra dos Números Complexos

Abrange as operações de adição, multiplicação, módulo e conjugado. Estabelece a base aritmética necessária para toda análise subsequente.

Aula 2 • Geometria do Plano Complexo

Interpreta números complexos como pontos e vetores no plano. Conecta operações algébricas a transformações geométricas.

Aula 3 • Topologia do Plano Complexo

Define conjuntos abertos, vizinhanças e conexidade no plano complexo. Fornece a linguagem topológica utilizada ao longo do curso.

Aula 1 • Funções Multivaloradas e Ramos

Aborda cortes de ramo e superfícies de Riemann para funções multivaloradas. Estabelece ramos analíticos unívocos usados na integração.

Aula 2 • Limites de Funções Complexas

Define limites rigorosamente usando a linguagem épsilon-delta adaptada ao plano. Relaciona o comportamento do limite à dependência de caminho bidimensional.

Aula 3 • Continuidade e Suas Propriedades

Caracteriza funções contínuas e sua preservação de propriedades topológicas. Conecta continuidade à continuidade uniforme em conjuntos compactos.

Aula 1 • Funções Analíticas e Funções Harmônicas

Estabelece que as partes real e imaginária de funções analíticas são harmônicas. Constrói conjugadas harmônicas via integração.

Aula 2 • Equações de Cauchy-Riemann

Deriva as condições de Cauchy-Riemann como critério necessário e suficiente. Aplica-as para verificar a analiticidade de funções padrão.

Aula 3 • Definição da Derivada Complexa

Define a derivada complexa como um limite e a contrasta com a diferenciação real. Destaca as restrições mais fortes impostas pela diferenciabilidade complexa.

Aula 4 • Regras de Diferenciação e Funções Inteiras

Estende as regras da soma, produto, cadeia e quociente para funções complexas. Classifica funções inteiras e introduz o teorema de Liouville informalmente.

Aula 1 • Teorema Integral de Cauchy

Prova a independência do caminho para funções analíticas em domínios simplesmente conexos. Introduz o princípio de deformação de contornos.

Aula 2 • Consequências do Teorema de Cauchy

Aplica os resultados de Cauchy para provar o teorema de Liouville e o teorema fundamental da álgebra. Demonstra o poder das restrições de analiticidade.

Aula 3 • Fórmula Integral de Cauchy

Deriva a fórmula que expressa valores de função via integrais de contorno. Estende para derivadas de ordem superior e estabelece a diferenciabilidade infinita.

Aula 1 • Séries de Potências e Raio de Convergência

Analisa a convergência de séries de potências usando os testes da razão e da raiz. Estabelece que séries de potências definem funções analíticas dentro de seu disco de convergência.

Aula 2 • Continuação Analítica

Define a continuação analítica e o teorema da identidade para funções analíticas. Demonstra como as funções se estendem de forma única além de seu domínio inicial.

Aula 3 • Série de Taylor de Funções Analíticas

Deriva expansões de Taylor a partir da fórmula integral de Cauchy. Calcula séries para funções padrão e determina discos de convergência.

Aula 1 • Integrais Impróprias via Resíduos

Avalia integrais reais impróprias usando contornos semicirculares e retangulares. Aplica o lema de Jordan para lidar com decaimento exponencial em arcos.

Aula 2 • Integrais com Cortes de Ramo

Lida com integrandos com cortes de ramo algébricos ou logarítmicos usando contornos de "keyhole". Estende os métodos de resíduos para funções multivaloradas.

Aula 3 • Princípio do Argumento e Teorema de Rouché

Usa o princípio do argumento para contar zeros e polos dentro de um contorno. Aplica o teorema de Rouché para localizar zeros de funções perturbadas.

Aula 4 • Resíduos e o Teorema dos Resíduos

Define resíduos como coeficientes de Laurent e prova o teorema dos resíduos. Conecta resíduos a números de enrolamento e singularidades envolvidas.

Aula 1 • Transformação de Schwarz-Christoffel

Deriva a fórmula de Schwarz-Christoffel para mapear o semiplano superior em polígonos. Aplica-a para resolver a equação de Laplace em domínios poligonais.

Aula 2 • Aplicações Conformes Elementares

Cataloga aplicações conformes padrão, incluindo mapas exponencial, potência e de Joukowski. Constrói um conjunto de ferramentas para transformar regiões geométricas padrão.

Aula 3 • Teoria de Aplicações Conformes

Define conformalidade via preservação de ângulo e orientação em pontos não críticos. Relaciona conformalidade à analiticidade e derivada não nula.

Aula 4 • Problemas de Valor de Contorno via Aplicações Conformes

Resolve a equação de Laplace em domínios complexos mapeando para geometrias mais simples. Demonstra a relevância física das técnicas conformes.

Aula 1 • Teoremas de Picard e Distribuição de Valores

Enuncia e interpreta os teoremas pequeno e grande de Picard sobre valores omitidos. Conecta à teoria de Nevanlinna e à distribuição de valores de funções inteiras.

Aula 2 • Funções Meromorfas e Mittag-Leffler

Constrói funções meromorfas com polos prescritos via o teorema de Mittag-Leffler. Contrasta com a fatoração de Weierstrass para zeros.

Aula 3 • Famílias Normais e Teorema de Montel

Define famílias normais de funções analíticas e prova o teorema de Montel. Fornece a ferramenta de compacidade usada na prova do teorema de Riemann de mapeamento.

Aula 4 • As Funções Gama e Zeta

Analisa a função gama como uma continuação analítica do fatorial. Introduz a função zeta de Riemann e sua equação funcional.