Curso de Métodos Numéricos

Aula 1 • Estabilidade e Condicionamento de Algoritmos

Define estabilidade numérica e números de condição para problemas. Prepara os alunos para avaliar a confiabilidade de algoritmos antes da implementação.

Aula 2 • Configuração do Ambiente de Programação

Configura um ambiente de computação científica usando uma linguagem de alto nível. Garante que todos os alunos possam implementar e testar algoritmos a partir do capítulo dois.

Aula 3 • Complexidade Computacional e Eficiência

Introduz a notação Big-O e a contagem de operações para algoritmos numéricos. Permite a comparação de custo entre métodos concorrentes.

Aula 4 • Representação de Números em Ponto Flutuante

Explica o padrão IEEE 754 e o épsilon da máquina. Conecta os limites da representação à perda prática de precisão em computação.

Aula 1 • Métodos de Bisseção e Enquadramento

Abrange o método da bisseção e suas propriedades de convergência garantida. Introduz o conceito de enquadramento como base para buscadores de raízes mais avançados.

Aula 2 • Sistemas de Equações Não Lineares

Estende a busca de raízes escalar para sistemas multivariados usando o método de Newton com Jacobianos. Prepara os alunos para problemas não lineares em capítulos aplicados posteriores.

Aula 3 • Métodos da Secante e Quase-Newton

Apresenta alternativas ao método de Newton que não usam derivadas. Compara a convergência superlinear com o custo da avaliação da derivada.

Aula 4 • Iteração de Ponto Fixo

Reformula equações como problemas de ponto fixo e analisa a convergência. Constrói a intuição para esquemas iterativos usados em capítulos posteriores.

Aula 1 • Eliminação Gaussiana e Substituição Retroativa

Implementa a redução de linhas para a forma triangular superior e a substituição retroativa. Estabelece o resolvedor direto de linha de base para todos os métodos matriciais subsequentes.

Aula 2 • Métodos Iterativos para Sistemas Lineares

Apresenta os métodos de Jacobi, Gauss-Seidel e gradiente conjugado para grandes sistemas esparsos. Analisa critérios de convergência e compara o custo com os métodos diretos.

Aula 3 • Estruturas Matriciais Especiais

Explora simetria, definição positiva e esparsidade para reduzir o custo computacional. Introduz a fatoração de Cholesky e resolvedores para matrizes em banda.

Aula 4 • Normas Matriciais e Números de Condição

Quantifica a sensibilidade da solução usando normas matriciais e números de condição. Aplica diretamente os conceitos de análise de erro do capítulo um a sistemas lineares.

Aula 1 • Interpolação por Splines Cúbicas

Constrói splines cúbicas por partes com condições de continuidade. Demonstra suavidade superior em relação a polinômios globais de alto grau.

Aula 2 • Análise do Erro de Interpolação

Deduz o limite do erro de interpolação e identifica o fenômeno de Runge. Motiva o uso de nós de Chebyshev para minimizar o erro máximo.

Aula 3 • Interpolação de Hermite e Osculatória

Estende a interpolação para igualar valores de derivadas nos nós. Fornece a base teórica para a construção de splines cúbicas na próxima seção.

Aula 4 • Técnicas de Interpolação Multivariada

Estende a interpolação para grades bidimensionais usando métodos bilineares e bicúbicos. Prepara os alunos para aplicações numéricas em EDP e ciência de dados.

Aula 1 • Quadratura Gaussiana

Seleciona pares ótimos de nós e pesos para maximizar a exatidão polinomial. Demonstra precisão superior em relação a Newton-Cotes para integrandos suaves.

Aula 2 • Extrapolação de Richardson e Integração de Romberg

Aplica a extrapolação de Richardson para eliminar termos de erro principais sistematicamente. Constrói a tabela de Romberg para integração de alta precisão com o mínimo de avaliações de função.

Aula 3 • Fórmulas de Diferenças Finitas

Deduz aproximações por diferenças progressivas, regressivas e centradas a partir da série de Taylor. Estabelece a precisão de primeira e segunda ordem para a estimativa de derivadas.

Aula 4 • Regras de Quadratura de Newton-Cotes

Desenvolve as regras trapezoidal, de Simpson e de Newton-Cotes de ordem superior. Deduz as formas compostas e seus termos de erro para integração prática.

Aula 1 • Sistemas de EDOs e Equações de Ordem Superior

Converte EDOs de ordem superior em sistemas de primeira ordem e aplica resolvedores vetoriais. Prepara os alunos para semidiscretizações acopladas de EDP no próximo capítulo.

Aula 2 • Métodos de Runge-Kutta

Desenvolve o método RK4 clássico e sua família por meio de tableaux de Butcher. Equilibra precisão e custo de avaliação de função para problemas não rígidos.

Aula 3 • Métodos de Múltiplos Passos

Apresenta os esquemas preditor-corretor de Adams-Bashforth e Adams-Moulton. Compara a eficiência com métodos de passo único para integração suave de longo tempo.

Aula 4 • Análise de Estabilidade e Sistemas Rígidos

Define regiões de estabilidade absoluta e identifica EDOs rígidas. Motiva resolvedores implícitos, como as fórmulas de diferenciação regressiva, para problemas rígidos.

Aula 1 • Diferenças Finitas para EDPs Parabólicas

Aplica esquemas explícitos e implícitos à equação do calor. Deduz o método de Crank-Nicolson e sua precisão de segunda ordem no tempo e no espaço.

Aula 2 • Classificação e Discretização de EDPs

Classifica EDPs como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas e seleciona estratégias de discretização adequadas. Conecta os métodos de ODE do capítulo seis ao método das linhas.

Aula 3 • EDPs Hiperbólicas e Equações de Onda

Resolve as equações de advecção e onda usando esquemas upwind e Lax-Wendroff. Analisa a difusão e dispersão numérica como métricas-chave de precisão.

Aula 4 • Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Introduz a formulação fraca e o método de elementos finitos de Galerkin para problemas de valor de contorno 1D. Fornece uma ponte conceitual para cursos avançados de FEM.

Aula 1 • Otimização com Restrições e Não Linear

Introduz multiplicadores de Lagrange, métodos de penalidade e programação quadrática sequencial. Prepara os alunos para resolver problemas de projeto de engenharia e ajuste de dados com restrições.

Aula 2 • Decomposição em Valores Singulares

Calcula a SVD e a aplica à determinação de posto, pseudoinversa e compressão de dados. Fornece a ferramenta mais robusta para problemas de mínimos quadrados mal-condicionados.

Aula 3 • Fatoração QR e Métodos Ortogonais

Decompõe matrizes via Gram-Schmidt e refletores de Householder para mínimos quadrados estáveis. Demonstra estabilidade numérica superior em relação às equações normais.

Aula 4 • Métodos de Otimização sem Restrições

Aplica descida do gradiente, método de Newton e atualizações quase-Newton para minimizar funções suaves. Analisa taxas de convergência e estratégias de busca linear.