Curso de Álgebra Abstrata

Aula 1 • Operações Binárias e Propriedades

Define operações binárias e examina fecho, associatividade, comutatividade e identidade. Relaciona propriedades operacionais com os axiomas de grupos e anéis.

Aula 2 • Introdução à Demonstração Matemática

Abrange demonstração direta, contrapositiva, contradição e indução. Equipa os estudantes para construir e avaliar argumentos algébricos rigorosos ao longo do curso.

Aula 3 • Conjuntos, Relações e Funções

Revisita a notação da teoria dos conjuntos, relações de equivalência e tipos de funções. Fornece o enquadramento lógico para definir estruturas algébricas rigorosamente.

Aula 1 • Classes Laterais e Teorema de Lagrange

Desenvolve classes laterais à esquerda e à direita, demonstra o teorema de Lagrange e deriva o índice. Estabelece a restrição fundamental sobre as ordens dos subgrupos em grupos finitos.

Aula 2 • Homomorfismos de Grupos

Define homomorfismos, núcleos e imagens, e demonstra propriedades básicas. Introduz o conceito de morfismo que unifica todas as estruturas algébricas estudadas posteriormente.

Aula 3 • Definição e Exemplos de Grupos

Enuncia os axiomas de grupo e examina exemplos canónicos, incluindo inteiros, simetrias e grupos de matrizes. Fundamenta definições abstratas em contextos concretos e familiares.

Aula 4 • Grupos Cíclicos e a Sua Estrutura

Classifica grupos cíclicos a menos de isomorfismo e analisa o seu reticulado de subgrupos. Fornece o primeiro resultado de classificação estrutural completo do curso.

Aula 1 • Os Teoremas de Isomorfismo

Enuncia e demonstra o primeiro, segundo e terceiro teoremas de isomorfismo. Fornece as principais ferramentas para comparar estruturas de grupo e simplificar a análise de homomorfismos.

Aula 2 • Construção do Grupo Quociente

Constrói o grupo quociente G/N e verifica os axiomas de grupo. Demonstra como a fatorização por um subgrupo normal cria um novo grupo mais simples.

Aula 3 • Grupos Simples e Séries de Composição

Define grupos simples e séries de composição, e enuncia o teorema de Jordan-Hölder. Introduz o conceito de blocos constituintes irredutíveis de grupos finitos.

Aula 1 • Ações de Grupo em Conjuntos

Define ações de grupo, órbitas e estabilizadores, e demonstra o teorema órbita-estabilizador. Unifica conjugação, multiplicação de classes laterais e simetria como instâncias de um único enquadramento.

Aula 2 • Lema de Burnside e Contagem

Aplica o lema de Burnside para contar órbitas em contextos combinatórios. Demonstra o poder das ações de grupo na resolução de problemas de enumeração.

Aula 3 • Ação de Conjugação e Equação das Classes

Analisa a conjugação como uma ação de grupo e deriva a equação das classes. Utiliza a equação das classes para demonstrar propriedades de p-grupos.

Aula 4 • Classificação de Grupos de Ordem Pequena

Aplica a teoria de Sylow para classificar grupos de ordens até 30. Sintetiza todas as ferramentas da teoria dos grupos numa metodologia de classificação sistemática.

Aula 1 • Domínios de Integridade e Corpos

Caracteriza domínios de integridade, corpos e a construção do corpo de frações. Prepara os estudantes para anéis de polinómios e extensões de corpo em capítulos posteriores.

Aula 2 • Anéis: Axiomas e Exemplos Básicos

Define anéis, anéis comutativos e anéis com unidade, examinando inteiros, polinómios e matrizes. Estabelece o enquadramento de duas operações que estende a teoria dos grupos.

Aula 3 • Ideais Primos e Maximais

Define ideais primos e maximais e caracteriza-os através de propriedades do anel quociente. Relaciona tipos de ideais com domínios de integridade e corpos.

Aula 4 • Anéis Quociente e Homomorfismos

Constrói anéis quociente R/I e demonstra os teoremas de isomorfismo de anéis. Paralela a construção do quociente de grupos e estende o enquadramento dos teoremas de isomorfismo.

Aula 1 • Domínios de Fatorização Única

Demonstra que todo o DIP é um DFU e analisa irredutíveis vs. primos. Estabelece o análogo algébrico do teorema fundamental da aritmética.

Aula 2 • Domínios Euclidianos e DIPs

Define domínios euclidianos e domínios de ideais principais e demonstra a cadeia de inclusões DE ⊂ DIP ⊂ DFU. Fornece a hierarquia estrutural para a teoria da fatorização.

Aula 3 • Critérios de Irredutibilidade

Desenvolve testes de irredutibilidade incluindo raiz racional, Eisenstein e redução módulo p. Equipa os estudantes para determinar se um polinómio fatoriza sobre um dado corpo.

Aula 4 • Lema de Gauss e Aplicações

Demonstra o lema de Gauss sobre polinómios primitivos e aplica-o à fatorização sobre Z vs. Q. Relaciona a fatorização de polinómios inteiros e racionais.

Aula 1 • Extensões de Corpo: Noções Básicas

Define extensões de corpo, elementos algébricos e transcendentes, e o grau [E:F]. Introduz a lei da torre como a ferramenta multiplicativa chave para graus de extensão.

Aula 2 • Resolubilidade por Radicais

Define extensões radicais e grupos solúveis, e demonstra o teorema de Abel-Ruffini. Demonstra por que razão os polinómios de grau 5 são geralmente insolúveis por radicais.

Aula 3 • Corpos de Decomposição e Fecho Algébrico

Constrói corpos de decomposição para polinómios e enuncia a existência de fechos algébricos. Fornece o contexto no qual todas as raízes de um polinómio coexistem.

Aula 4 • O Grupo de Galois e a Correspondência

Define o grupo de Galois Gal(E/F) e demonstra o teorema fundamental da teoria de Galois. Estabelece a bijeção entre corpos intermédios e subgrupos do grupo de Galois.

Aula 1 • Aplicações a Grupos Abelianos

Aplica o teorema da estrutura para classificar todos os grupos abelianos finitamente gerados. Demonstra o poder do teorema como uma ferramenta de classificação completa.

Aula 2 • Módulos sobre Anéis

Define R-módulos à esquerda, submódulos e homomorfismos de módulos. Posiciona os módulos como a generalização comum de grupos abelianos e espaços vetoriais.

Aula 3 • Teorema da Estrutura para Módulos sobre DIPs

Demonstra o teorema da estrutura para módulos finitamente gerados sobre DIPs nas formas de fatores invariantes e divisores elementares. Unifica a classificação de grupos abelianos e formas canónicas.

Aula 4 • Sucessões Exatas e Módulos Projetivos

Introduz sucessões exatas curtas, sucessões cindidas e módulos projetivos. Fornece a linguagem para descrever extensões de módulos e decomposições em somas diretas.