Curso de Cálculo 3

Aula 1 • Produto Vetorial e suas Aplicações

Desenvolve o produto vetorial através do método do determinante e explora o seu significado geométrico. Permite o cálculo de vetores normais, torque e áreas de paralelogramos.

Aula 2 • Coordenadas e Pontos no Espaço 3D

Introduz o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional e a fórmula da distância. Fornece a estrutura espacial necessária para todo o trabalho futuro com vetores e superfícies.

Aula 3 • Produto Escalar e suas Aplicações

Aborda a fórmula do produto escalar, o ângulo entre vetores e a ortogonalidade. Relaciona-se diretamente com projeções e vetores normais usados nas equações do plano.

Aula 4 • Retas e Planos no Espaço

Deduz as equações paramétricas, simétricas e normais para retas e planos usando vetores. Constrói o raciocínio espacial necessário para superfícies e funções de várias variáveis.

Aula 1 • Comprimento de Arco e Curvatura

Deduz o comprimento de arco para curvas no espaço e define curvatura usando o triedro de Frenet-Serret. Estes conceitos surgem em aplicações da física e na geometria diferencial.

Aula 2 • Integração de Funções Vetoriais

Aborda integrais definidos e indefinidos de funções vetoriais componente a componente. Relaciona-se com problemas de posição, velocidade e aceleração no movimento.

Aula 3 • Introdução às Funções Vetoriais

Define funções vetoriais e os seus domínios, limites e continuidade. Estabelece a ligação entre curvas paramétricas e funções vetoriais.

Aula 4 • Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração

Aplica o cálculo vetorial para analisar movimentos de projéteis e circulares usando as componentes tangencial e normal da aceleração. Sintetiza todas as competências das secções anteriores.

Aula 1 • Planos Tangentes e Aproximação Linear

Deduz as equações do plano tangente e a linearização para funções de duas variáveis. Relaciona-se com diferenciais e estimação de erros usadas em problemas aplicados.

Aula 2 • Derivadas Direcionais e o Gradiente

Define derivadas direcionais e o vetor gradiente, ligando-os à direção de maior crescimento. As propriedades do gradiente são essenciais para a otimização e os multiplicadores de Lagrange.

Aula 3 • Funções de Várias Variáveis

Define funções de várias variáveis, os seus domínios, imagens e curvas de nível. A visualização de curvas e superfícies de nível prepara os estudantes para o trabalho com gradientes e otimização.

Aula 4 • A Regra da Cadeia para Funções de Várias Variáveis

Estende a regra da cadeia a funções compostas de várias variáveis usando árvores de dependência. Permite a diferenciação implícita e problemas de taxas relacionadas em dimensões superiores.

Aula 5 • Limites e Continuidade em Várias Variáveis

Estende os conceitos de limite a contextos multivariáveis, incluindo limites dependentes do caminho. Estabelece as condições de continuidade necessárias para os teoremas de diferenciabilidade.

Aula 1 • Teste da Segunda Derivada em Duas Variáveis

Aplica o discriminante D para classificar pontos críticos como máximos, mínimos ou pontos de sela. Estende o raciocínio da segunda derivada univariável a superfícies.

Aula 2 • Extremos Locais e Pontos Críticos

Identifica pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero e classifica-os. Fornece a base para o teste da segunda derivada e a otimização global.

Aula 3 • Extremos Absolutos em Regiões Fechadas

Determina máximos e mínimos absolutos em domínios fechados e limitados, verificando o interior e a fronteira. Espelha o método do intervalo fechado do cálculo univariável.

Aula 1 • Integrais Duplos sobre Regiões Gerais

Estende os integrais duplos a regiões do tipo I e tipo II com limites variáveis. A alteração da ordem de integração simplifica frequentemente integrais que seriam intratáveis.

Aula 2 • Integrais Triplos em Coordenadas Esféricas

Introduz as coordenadas esféricas e o jacobiano ρ² sen φ para integrais triplos. Ideal para esferas, cones e outros sólidos com simetria radial.

Aula 3 • Integrais Duplos em Coordenadas Polares

Converte integrais duplos para a forma polar usando o fator jacobiano r. As coordenadas polares simplificam integrais sobre regiões circulares e simétricas.

Aula 4 • Integrais Triplos em Coordenadas Cilíndricas

Transforma integrais triplos usando coordenadas cilíndricas para sólidos com simetria axial. O jacobiano r simplifica a integração sobre cilindros e cones.

Aula 5 • Integrais Triplos em Coordenadas Retangulares

Define e calcula integrais triplos sobre regiões cúbicas e sólidas gerais. Calcula o volume, a massa e os momentos de objetos sólidos.

Aula 1 • Mudança de Variáveis e o Jacobiano

Deduz a fórmula geral de mudança de variáveis usando o determinante jacobiano. Unifica as substituições polar, cilíndrica e esférica num único quadro.

Aula 2 • Área de Superfície através de Integrais Duplos

Calcula a área de superfície de gráficos z = f(x, y) usando a fórmula do integral duplo. Estende as ideias de comprimento de arco do cálculo univariável a superfícies.

Aula 3 • Aplicações Probabilísticas de Integrais Duplos

Aplica integrais duplos a funções de densidade de probabilidade conjunta e valores esperados. Demonstra a amplitude da integração múltipla para além da geometria.

Aula 1 • Integrais de Linha de Campos Vetoriais

Define e calcula integrais de linha de campos vetoriais que representam o trabalho realizado por uma força. Relaciona-se com as interpretações de circulação e fluxo na física.

Aula 2 • Integrais de Linha de Funções Escalares

Calcula integrais de linha de funções escalares em relação ao comprimento de arco. Calcula a massa e o centro de massa de objetos em forma de fio.

Aula 3 • Campos Vetoriais em Duas e Três Dimensões

Define campos vetoriais, esboça-os e identifica campos gradientes. O reconhecimento de campos conservativos reduz significativamente o cálculo de integrais de linha.

Aula 4 • Teorema Fundamental para Integrais de Linha

Enuncia e aplica o teorema fundamental a campos conservativos, mostrando a independência do caminho. A determinação de funções potenciais reduz os integrais de linha a avaliações na fronteira.

Aula 1 • Integrais de Superfície de Campos Vetoriais e Fluxo

Define fluxo como o integral de superfície de um campo vetorial projetado no vetor normal unitário. A orientação das superfícies determina o sinal dos integrais de fluxo.

Aula 2 • Integrais de Superfície de Funções Escalares

Calcula integrais de superfície de funções escalares sobre superfícies paramétricas e gráficas. Calcula a massa e o valor médio de uma distribuição numa superfície.

Aula 3 • O Teorema da Divergência

Relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o integral triplo da divergência sobre o volume delimitado. Completa a unificação dos teoremas do cálculo vetorial.

Aula 4 • Superfícies Paramétricas e as suas Áreas

Representa superfícies parametricamente e calcula a área de superfície usando o produto vetorial das derivadas parciais. Generaliza a fórmula anterior da área de superfície a superfícies arbitrárias.

Aula 5 • Teorema de Stokes

Relaciona o integral de superfície do rotacional F com o integral de linha em torno da curva da fronteira. Generaliza o teorema de Green a superfícies em três dimensões.