Curso de Cálculo Aplicado com Python

Aula 1 • Configuração do Ambiente Python

Instale Python, Jupyter, NumPy, SymPy e Matplotlib. Esta cadeia de ferramentas sustenta todos os exercícios computacionais do curso.

Aula 2 • Sintaxe Python para Trabalho Matemático

Aborde variáveis, ciclos, funções e list comprehensions aplicados ao cálculo numérico. Estas construções traduzem notação matemática em código executável.

Aula 3 • Expressões Algébricas com SymPy

Use símbolos SymPy para construir, simplificar e fatorizar expressões algébricas. A manipulação simbólica é a porta de entrada para o cálculo analítico em Python.

Aula 4 • Arrays Numéricos com NumPy

Crie e opere arrays NumPy para avaliar funções em intervalos. A computação baseada em arrays é a espinha dorsal numérica dos fluxos de trabalho do cálculo aplicado.

Aula 1 • Continuidade e Descontinuidades

Defina continuidade formalmente e classifique descontinuidades removíveis, de salto e infinitas. Scripts Python detetam e visualizam descontinuidades em funções reais.

Aula 2 • O Conceito de Limite

Apresente as definições informal e formal de limite usando tabelas e gráficos. A exploração numérica em Python constrói intuição antes dos métodos simbólicos.

Aula 3 • Cálculo de Limites com SymPy

Aplique a função limit do SymPy para avaliar limites analíticos, incluindo formas indeterminadas. Os resultados simbólicos são verificados por comparação com aproximações numéricas.

Aula 1 • Derivadas de Funções Especiais

Diferencie funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. O SymPy trata estas analiticamente enquanto o NumPy as avalia numericamente.

Aula 2 • Regras Básicas de Diferenciação

Aplique as regras da potência, constante, soma e diferença para diferenciar polinómios. A função diff do SymPy automatiza e verifica os cálculos manuais.

Aula 3 • Diferenciação Implícita e Numérica

Diferencie relações definidas implicitamente e aplique esquemas de diferenças finitas numericamente. Estas técnicas lidam com funções que não podem ser resolvidas explicitamente.

Aula 4 • Regras do Produto, Quociente e Cadeia

Estenda a diferenciação a produtos, quocientes e funções compostas. Estas regras lidam com a maioria das funções encontradas em problemas aplicados.

Aula 1 • Otimização com Derivadas

Encontre extremos absolutos e locais usando pontos críticos e análise de fronteira. O SymPy resolve as equações derivadas enquanto o minimize do SciPy valida os resultados.

Aula 2 • Regra de L'Hôpital e Análise Assintótica

Resolva limites indeterminados usando a regra de L'Hôpital e analise o comportamento assintótico. O SymPy automatiza a aplicação repetida e confirma assímptotas gráficas.

Aula 3 • Funções Crescentes, Decrescentes e Concavidade

Use a primeira e a segunda derivadas para determinar o comportamento de uma função e a sua concavidade. Gráficos Python anotados com características críticas reforçam as conclusões analíticas.

Aula 4 • Problemas de Taxas Relacionadas

Diferencie equações multivariáveis em ordem ao tempo para relacionar grandezas variáveis. O Python simula cenários dinâmicos e representa graficamente as relações entre taxas.

Aula 1 • O Teorema Fundamental do Cálculo

Enuncie e aplique as duas partes do Teorema Fundamental para ligar a diferenciação e a integração. O SymPy demonstra o teorema simbolicamente em exemplos concretos.

Aula 2 • Somas de Riemann e o Integral Definido

Aproxime a área sob uma curva usando somas de Riemann à esquerda, à direita e ao ponto médio. Ciclos Python e vetorização NumPy tornam visível o comportamento da convergência.

Aula 3 • Regras e Fórmulas Básicas de Integração

Aplique regras de primitivação para potências, exponenciais e funções trigonométricas. O SymPy valida cada resultado e realça armadilhas comuns como constantes em falta.

Aula 4 • Integração por Substituição

Aplique a substituição u para transformar integrais em formas mais simples. As ferramentas de substituição do SymPy automatizam a técnica para integrandos compostos complexos.

Aula 1 • Valor Médio e Teorema do Valor Médio

Calcule o valor médio de uma função e localize o ponto de valor médio garantido. Estes conceitos surgem no processamento de sinal e na média estatística.

Aula 2 • Volumes de Sólidos de Revolução

Aplique os métodos do disco, da anilha e da casca para calcular volumes de sólidos obtidos por rotação. Gráficos tridimensionais em Matplotlib tornam a geometria concreta.

Aula 3 • Comprimento de Arco e Área de Superfície

Deduza e calcule integrais de comprimento de arco e área de superfície para curvas suaves. O quad do SciPy lida com integrandos que resistem a primitivas simbólicas.

Aula 4 • Acumulação e Variação Líquida

Interprete o integral como a variação acumulada em modelos de velocidade, população e custo. O Python simula acumulação em séries temporais e compara com resultados analíticos.

Aula 1 • Derivadas Parciais e Gradientes

Calcule derivadas parciais simbolicamente com SymPy e construa o vetor gradiente. O significado geométrico do gradiente como direção de maior crescimento é visualizado com gráficos de setas.

Aula 2 • Funções de Várias Variáveis

Defina e visualize campos escalares usando gráficos de contorno e gráficos de superfície 3D. A compreensão da geometria das funções multivariáveis precede as técnicas analíticas.

Aula 3 • Derivadas Direcionais e a Regra da Cadeia

Calcule derivadas direcionais e aplique a regra da cadeia multivariável a funções compostas. Estas ferramentas modelam a sensibilidade ao longo de direções arbitrárias no espaço de parâmetros.

Aula 4 • Otimização de Funções Multivariáveis

Encontre pontos críticos usando o gradiente e classifique-os com o teste da segunda derivada. O minimize do SciPy estende a otimização a problemas com restrições e de alta dimensão.

Aula 1 • Solvers Numéricos de EDOs

Implemente o método de Euler e use o solve_ivp do SciPy para soluções numéricas exatas. A comparação de métodos revela compromissos entre simplicidade e precisão.

Aula 2 • EDOs Separáveis e Lineares de Primeira Ordem

Resolva EDOs separáveis por separação de variáveis e EDOs lineares com fatores integrantes. O dsolve do SymPy automatiza ambos os métodos e devolve soluções gerais.

Aula 3 • Sistemas de Equações Diferenciais

Modele sistemas dinâmicos acoplados, como modelos predador-presa e compartimentais. O solve_ivp do SciPy lida com EDOs com valores vetoriais e os gráficos de plano de fase revelam o comportamento.

Aula 4 • Cálculo em Modelação Aplicada

Integre ferramentas de cálculo em modelos aplicados completos, desde os dados à equação diferencial e à perceção. Os miniprojetos de síntese consolidam todas as competências do curso.