Curs de Analiză Complexă

Lecția 1 • Algebra numerelor complexe

Acoperă adunarea, înmulțirea, modulul și conjugarea. Stabilește fundamentul aritmetic necesar pentru analiza ulterioară.

Lecția 2 • Geometria planului complex

Interpretează numerele complexe ca puncte și vectori în plan. Leagă operațiile algebrice de transformări geometrice.

Lecția 3 • Topologia planului complex

Definește mulțimi deschise, vecinătăți și conexitate în planul complex. Furnizează limbajul topologic folosit pe parcursul cursului.

Lecția 1 • Funcții multivoce și ramuri

Abordează tăieturile de ramură și suprafețele Riemann pentru funcții multivoce. Stabilește ramuri analitice univoce folosite în integrare.

Lecția 2 • Limitele funcțiilor complexe

Definește limitele riguros folosind limbajul epsilon-delta adaptat planului. Leagă comportamentul limitei de dependența de drum bidimensională.

Lecția 3 • Continuitatea și proprietățile sale

Caracterizează funcțiile continue și conservarea proprietăților topologice. Leagă continuitatea de continuitatea uniformă pe mulțimi compacte.

Lecția 1 • Funcții analitice și funcții armonice

Stabilește că părțile reală și imaginară ale funcțiilor analitice sunt armonice. Construiește conjugate armonice prin integrare.

Lecția 2 • Ecuațiile Cauchy-Riemann

Deduce condițiile Cauchy-Riemann ca criterii necesare și suficiente. Le aplică pentru a verifica analiticitatea funcțiilor standard.

Lecția 3 • Definiția derivatei complexe

Definește derivata complexă ca limită și o contrastează cu derivarea reală. Evidențiază constrângerile mai stricte impuse de derivabilitatea complexă.

Lecția 4 • Reguli de derivare și funcții întregi

Extinde regulile sumei, produsului, lanțului și câtului la funcții complexe. Clasifică funcțiile întregi și introduce teorema lui Liouville informal.

Lecția 1 • Teorema integrală a lui Cauchy

Demonstrează independența de drum pentru funcții analitice pe domenii simplu conexe. Introduce principiul deformării contururilor.

Lecția 2 • Consecințe ale teoremei lui Cauchy

Aplică rezultatele lui Cauchy pentru a demonstra teorema lui Liouville și teorema fundamentală a algebrei. Demonstrează puterea constrângerilor de analiticitate.

Lecția 3 • Formula integrală a lui Cauchy

Deduce formula care exprimă valorile funcției prin integrale pe contur. Se extinde la derivate de ordin superior și stabilește derivabilitatea infinită.

Lecția 1 • Serii de puteri și raza de convergență

Analizează convergența seriilor de puteri folosind criteriile raportului și rădăcinii. Stabilește că seriile de puteri definesc funcții analitice în interiorul discului lor de convergență.

Lecția 2 • Continuare analitică

Definește continuarea analitică și teorema identității pentru funcții analitice. Demonstrează cum funcțiile se extind unic dincolo de domeniul lor inițial.

Lecția 3 • Seria Taylor a funcțiilor analitice

Deduce dezvoltările Taylor din formula integrală a lui Cauchy. Calculează serii pentru funcții standard și determină discurile de convergență.

Lecția 1 • Integrale improprii prin reziduuri

Evaluează integrale reale improprii folosind contururi semicirculare și dreptunghiulare. Aplică lema lui Jordan pentru a trata descreșterea exponențială pe arce.

Lecția 2 • Integrale cu tăieturi de ramură

Tratează integranzi cu tăieturi de ramură algebrice sau logaritmice folosind conturul cu gaură de cheie. Extinde metodele reziduurilor la funcții multivoce.

Lecția 3 • Principiul argumentului și teorema lui Rouche

Folosește principiul argumentului pentru a număra zerourile și polii din interiorul unui contur. Aplică teorema lui Rouche pentru a localiza zerourile funcțiilor perturbate.

Lecția 4 • Reziduuri și teorema reziduurilor

Definește reziduurile ca coeficienți Laurent și demonstrează teorema reziduurilor. Leagă reziduurile de numărul de înfășurare și singularitățile închise.

Lecția 1 • Transformarea Schwarz-Christoffel

Deduce formula Schwarz-Christoffel pentru aplicarea semiplanului superior pe poligoane. O aplică pentru a rezolva ecuația lui Laplace pe domenii poligonale.

Lecția 2 • Aplicații conforme elementare

Cataloghează aplicațiile conforme standard, inclusiv cele exponențiale, de putere și Joukowski. Construiește un set de instrumente pentru transformarea regiunilor geometrice standard.

Lecția 3 • Teoria aplicațiilor conforme

Definește conformalitatea prin conservarea unghiurilor și orientării în puncte necritice. Leagă conformalitatea de analiticitate și derivata nenulă.

Lecția 4 • Probleme cu valori la limită prin aplicații conforme

Rezolvă ecuația lui Laplace pe domenii complexe prin aplicare pe geometrii mai simple. Demonstrează relevanța fizică a tehnicilor conforme.

Lecția 1 • Teoremele lui Picard și distribuția valorilor

Enunță și interpretează teoremele mică și mare ale lui Picard privind valorile omise. Se leagă de teoria Nevanlinna și distribuția valorilor funcțiilor întregi.

Lecția 2 • Funcții meromorfe și teorema Mittag-Leffler

Construiește funcții meromorfe cu poli prescriși prin teorema Mittag-Leffler. Contrastează cu factorizarea Weierstrass pentru zerouri.

Lecția 3 • Familii normale și teorema lui Montel

Definește familii normale de funcții analitice și demonstrează teorema lui Montel. Furnizează instrumentul de compactitate folosit în demonstrația teoremei de aplicare Riemann.

Lecția 4 • Funcțiile Gamma și Zeta

Analizează funcția Gamma ca o continuare analitică a factorialului. Introduce funcția zeta Riemann și ecuația sa funcțională.