Curso de álgebra matricial

Lección 1 • Transposición de matrices

Explica la operación de transposición y sus propiedades algebraicas. La transposición aparece recurrentemente en descomposiciones, métodos de mínimos cuadrados y matrices de covarianza.

Lección 2 • Notación y terminología matricial

Introduce la notación estándar para filas, columnas y elementos. Establece el vocabulario que se utiliza en todos los capítulos posteriores.

Lección 3 • Aritmética básica con matrices

Enseña la suma, la resta y la multiplicación escalar con las reglas de compatibilidad. Estas operaciones son requisitos previos para los productos matriciales y las transformaciones.

Lección 1 • Propiedades de los productos matriciales

Examina la asociatividad, la distributividad y el comportamiento del elemento identidad. Comprender estas propiedades permite la manipulación algebraica de expresiones matriciales.

Lección 2 • Productos matriciales especiales

Cubre los productos exteriores, de Hadamard y de Kronecker. Cada tipo de producto aparece en distintos dominios de aplicación que se tratan más adelante.

Lección 3 • Reglas de la multiplicación de matrices

Deduce la regla fila por columna y los requisitos de dimensión para productos válidos. La aplicación correcta previene los errores computacionales más comunes.

Lección 1 • Cálculo de determinantes

Presenta la expansión por cofactores y los métodos de reducción por filas para determinantes. El cálculo preciso es esencial para las pruebas de invertibilidad y la regla de Cramer.

Lección 2 • Cálculo de la matriz inversa

Enseña métodos basados en la adjunta y en la reducción por filas para hallar inversas. El cálculo de la inversa permite la solución directa de ecuaciones lineales y transformaciones.

Lección 3 • Matrices singulares vs. invertibles

Define la singularidad mediante criterios de determinante y rango. Distinguir las matrices invertibles de las singulares es crítico para resolver sistemas lineales.

Lección 4 • Regla de Cramer y aplicaciones

Aplica determinantes para resolver sistemas lineales pequeños mediante la regla de Cramer. Conecta la teoría de determinantes con flujos de trabajo prácticos de resolución de ecuaciones.

Lección 1 • Eliminación de Gauss-Jordan y RREF

Extiende la eliminación a la forma escalonada reducida por filas para la lectura directa de la solución. La RREF también revela el rango y las variables libres en sistemas subdeterminados.

Lección 2 • Representación matricial de sistemas lineales

Convierte sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada. Esta representación es el punto de entrada para todos los métodos algorítmicos de solución.

Lección 3 • Eliminación gaussiana

Aplica operaciones elementales de fila para alcanzar la forma escalonada por filas. La eliminación gaussiana es el algoritmo fundamental para resolver sistemas lineales.

Lección 4 • Descomposición LU para sistemas lineales

Factoriza una matriz en componentes triangulares inferior y superior para una solución eficiente. La descomposición LU reduce el cálculo repetitivo al resolver con múltiples términos independientes.

Lección 1 • Ecuación característica y valores propios

Obtiene los valores propios a partir del polinomio característico de una matriz cuadrada. Los valores propios cuantifican el comportamiento de escalamiento a lo largo de direcciones invariantes.

Lección 2 • Matrices simétricas y el teorema espectral

Demuestra que las matrices simétricas tienen valores propios reales y vectores propios ortogonales. El teorema espectral es la base del análisis de componentes principales y de las formas cuadráticas.

Lección 3 • Cálculo de vectores propios

Encuentra los vectores propios resolviendo el espacio nulo de matrices desplazadas. Los vectores propios definen los ejes invariantes de una transformación lineal.

Lección 4 • Diagonalización de matrices

Construye la forma diagonal usando matrices de vectores propios cuando se cumplen las condiciones. La diagonalización simplifica el cálculo de potencias de matrices y de exponenciales.

Lección 1 • Transformaciones lineales y sus matrices

Define las transformaciones lineales y obtiene sus representaciones matriciales estándar. Toda matriz codifica una transformación lineal entre espacios vectoriales.

Lección 2 • Axiomas y ejemplos de espacios vectoriales

Define los espacios vectoriales a través de los axiomas de cierre, identidad e inversos. Reconocer espacios vectoriales válidos es requisito previo para el análisis de subespacios y bases.

Lección 3 • Sistemas de coordenadas y cambio de base

Expresa vectores en diferentes bases usando matrices de transición. El cambio de base es esencial para la diagonalización y el cálculo eficiente.

Lección 4 • Subespacios, espacio generado y base

Identifica subespacios y construye conjuntos generadores y bases mínimas. La elección de la base determina las representaciones por coordenadas utilizadas en las transformaciones.

Lección 1 • Elección y aplicación de descomposiciones

Proporciona un marco de decisión para seleccionar descomposiciones según las propiedades de la matriz y los objetivos. Los criterios prácticos de selección previenen cálculos ineficientes o inestables.

Lección 2 • Descomposición QR

Factoriza una matriz en componentes ortogonales y triangulares superiores mediante Gram-Schmidt. La descomposición QR es la base de los solvers de mínimos cuadrados y de los algoritmos de valores propios.

Lección 3 • Descomposiciones de Schur y de Jordan

Presenta la triangularización de Schur y la forma normal de Jordan para matrices no diagonalizables. Estas formas manejan matrices defectivas que resisten la diagonalización estándar.

Lección 4 • Descomposición de Cholesky

Factoriza matrices simétricas definidas positivas en forma triangular. Cholesky es el doble de eficiente que LU para sistemas definidos positivos en optimización.

Lección 1 • Mínimos cuadrados y regresión

Resuelve sistemas sobredeterminados mediante las ecuaciones normales y la pseudoinversa. Los mínimos cuadrados son el núcleo matemático de la regresión lineal y del ajuste de datos.

Lección 2 • Formas cuadráticas y optimización

Analiza funciones objetivo cuadráticas usando representaciones matriciales y valores propios. El análisis de formas cuadráticas determina la convexidad y las condiciones de optimalidad.

Lección 3 • Métodos matriciales en el análisis de redes

Codifica grafos como matrices de adyacencia y laplacianas y extrae propiedades estructurales. La teoría espectral de grafos conecta los valores propios con la conectividad y el agrupamiento.

Lección 4 • Solvers iterativos y convergencia

Introduce los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y gradiente conjugado para sistemas grandes y dispersos. Los métodos iterativos escalan donde las descomposiciones directas se vuelven computacionalmente prohibitivas.