Curso de optimización matemática para ingenieros

Lección 1 • Fundamentos de la formulación de problemas

Traduce escenarios de ingeniería a modelos matemáticos. Conecta los requisitos del mundo real con las estructuras formales de optimización.

Lección 2 • Repaso de prerrequisitos matemáticos

Repasa los fundamentos de cálculo, álgebra lineal y teoría de conjuntos. Asegura que los estudiantes puedan manipular los objetos matemáticos utilizados en optimización.

Lección 3 • Conceptos y terminología centrales

Define las funciones objetivo, las variables de decisión y las restricciones. Establece el vocabulario que se utiliza en todos los métodos de optimización subsiguientes.

Lección 1 • Análisis de sensibilidad y posoptimalidad

Analiza cómo cambian las soluciones óptimas ante perturbaciones de los parámetros. Apoya la toma de decisiones robustas en ingeniería bajo incertidumbre.

Lección 2 • Teoría de la dualidad

Deduce los problemas duales de PL y demuestra la dualidad fuerte. Permite el análisis de sensibilidad y la interpretación económica de las restricciones.

Lección 3 • Forma estándar y geometría

Convierte problemas de PL a la forma estándar y visualiza politopos factibles. Establece la intuición geométrica para el método simplex.

Lección 4 • El método simplex

Desarrolla el algoritmo simplex completo, desde las reglas de pivoteo hasta la terminación. Proporciona la herramienta computacional principal para problemas de PL.

Lección 1 • Condiciones de optimalidad para funciones suaves

Deduce las condiciones necesarias y suficientes de primer y segundo orden. Proporciona la base teórica para todos los algoritmos basados en el gradiente.

Lección 2 • Métodos de optimización libres de derivada

Cubre los métodos de Nelder-Mead, búsqueda de patrones y basados en modelos sustitutos. Aborda problemas donde los gradientes no están disponibles o no son confiables.

Lección 3 • Descenso de gradiente y gradiente conjugado

Implementa los algoritmos de descenso más pronunciado y de gradiente conjugado. Compara las tasas de convergencia para objetivos cuadráticos y generales.

Lección 4 • Estrategias de búsqueda lineal

Cubre métodos de búsqueda lineal exacta e inexacta para la selección del tamaño de paso. Asegura condiciones de decrecimiento suficiente y curvatura en los métodos iterativos.

Lección 1 • Métodos de penalización y barrera

Convierte problemas con restricciones en secuencias sin restricciones mediante penalizaciones. Conecta la teoría con restricciones con los solucionadores sin restricciones ya dominados.

Lección 2 • Técnicas prácticas de manejo de restricciones

Aborda las restricciones de cota, el escalamiento de variables y el arranque en caliente. Mejora la robustez y eficiencia del solucionador en aplicaciones reales de ingeniería.

Lección 3 • Condiciones de optimalidad KKT

Deduce las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker para problemas con restricciones. Proporciona la base teórica para todos los algoritmos de optimización con restricciones.

Lección 4 • Programación cuadrática secuencial

Resuelve PNL con restricciones iterando subproblemas cuadráticos. Logra convergencia rápida para problemas suaves de diseño en ingeniería.

Lección 1 • Conjuntos y funciones convexos

Define la convexidad rigurosamente e identifica las operaciones que preservan la convexidad. Permite el reconocimiento de la estructura convexa en modelos de ingeniería.

Lección 2 • Dualidad lagrangiana y funciones conjugadas

Desarrolla la relajación lagrangiana y la teoría de funciones conjugadas. Proporciona herramientas para deducir problemas duales y acotar los objetivos primales.

Lección 3 • Métodos de subgradiente y proximales

Extiende los métodos de gradiente a objetivos convexos no suaves. Maneja la regularización L1 y otros objetivos no diferenciables en ingeniería.

Lección 4 • Formulaciones de programación cónica

Introduce los programas de cono de segundo orden y semidefinidos como generalizaciones convexas de la PL. Amplía la clase de problemas de ingeniería tratables.

Lección 1 • Métodos de planos de corte

Refuerza las relajaciones de PL con desigualdades válidas para acelerar la resolución de PEM. Complementa el algoritmo de ramificación y acotamiento en el marco de ramificación y corte.

Lección 2 • Heurísticas y metaheurísticas

Cubre heurísticas voraces, de búsqueda local y basadas en poblaciones para PEM grandes. Proporciona herramientas prácticas cuando los métodos exactos son computacionalmente inviables.

Lección 3 • Programación dinámica para problemas discretos

Aplica el principio de Bellman a la optimización discreta secuencial. Resuelve de manera exacta los problemas de la ruta más corta, de la mochila y de programación de horarios.

Lección 4 • Algoritmo de ramificación y acotamiento

Desarrolla la búsqueda en árbol de ramificación y acotamiento para soluciones enteras exactas. Proporciona el motor algorítmico central de los solucionadores modernos de PEM.

Lección 1 • Restricciones probabilísticas y CVaR

Codifica requisitos de factibilidad probabilística y objetivos de riesgo de cola. Maneja restricciones de seguridad y confiabilidad en el diseño de ingeniería.

Lección 2 • Programación estocástica de dos etapas

Formula decisiones "aquí y ahora" vs. "esperar y ver" a través de escenarios. Resuelve problemas con recurso que surgen en la planificación de ingeniería bajo incertidumbre.

Lección 3 • Modelado de la incertidumbre en ingeniería

Caracteriza la incertidumbre de los parámetros mediante distribuciones de probabilidad y conjuntos de incertidumbre. Motiva la necesidad de formulaciones estocásticas y robustas.

Lección 4 • Métodos de descomposición y muestreo

Aplica la descomposición de Benders y el muestreo de Monte Carlo a programas estocásticos grandes. Permite la solución escalable de problemas reales de incertidumbre en ingeniería.

Lección 1 • Validación de modelos e informes de soluciones

Cubre la verificación, la evaluación comparativa y la comunicación profesional de los resultados de optimización. Asegura que las soluciones de ingeniería cumplan con los estándares de calidad e interpretabilidad.

Lección 2 • Optimización de la cadena de suministro y logística

Modela la ubicación de instalaciones, el enrutamiento y los inventarios como problemas PEM. Conecta la teoría de optimización combinatoria con la práctica de la ingeniería industrial.

Lección 3 • Optimización del diseño estructural y mecánico

Aplica PNL y optimización topológica a problemas de peso estructural y flexibilidad. Demuestra el flujo de trabajo completo de optimización en ingeniería mecánica.

Lección 4 • Optimización de sistemas energéticos y redes

Optimiza el despacho de potencia, las redes de flujo y la programación del almacenamiento de energía. Aplica métodos de PL, PEM y estocásticos a problemas de ingeniería energética.