Cours de mathématiques pour la finance quantitative

Leçon 1 • Fondamentaux de l'algèbre linéaire

Présente les vecteurs, les matrices et les transformations linéaires utilisés dans les modèles de portefeuille et de facteurs. Fournit les outils pour résoudre des systèmes d'équations financières.

Leçon 2 • Révision de l'analyse pour la finance

Fait le pont entre l'analyse de premier cycle et les mathématiques financières avancées.

Leçon 3 • Analyse réelle et systèmes de nombres

Couvre les nombres réels, les limites et la continuité comme fondement de la modélisation financière. Relie l'analyse rigoureuse à la tarification et à la mesure du risque.

Leçon 1 • Techniques statistiques multivariées

Étend l'analyse aux matrices de covariance, aux composantes principales et aux structures factorielles. Soutient directement la construction de portefeuille et la décomposition du risque.

Leçon 2 • Tests d'hypothèses en finance

Applique des tests classiques et robustes aux données financières, y compris les vérifications de normalité et d'autocorrélation. Soutient la validation de modèles et les rapports réglementaires.

Leçon 3 • Fondamentaux de l'analyse de régression

Construit la régression par les moindres carrés ordinaires pour l'exposition factorielle et l'attribution de rendement. Introduit les diagnostics garantissant la validité du modèle.

Leçon 4 • Statistiques descriptives pour les rendements

Résume les distributions de rendements à l'aide des moments, des quantiles et des mesures de forme. Établit une caractérisation de base des données avant les méthodes inférentielles.

Leçon 1 • Représentation martingale et théorème de Girsanov

Couvre le théorème de représentation des martingales et la technique de changement de mesure de Girsanov. Permet la tarification en univers risque-neutre dans les modèles en temps continu.

Leçon 2 • Calcul d'Itô et intégrales stochastiques

Développe l'intégrale d'Itô et le lemme d'Itô pour la transformation de processus stochastiques. Permet la dérivation d'équations différentielles stochastiques pour les prix d'actifs.

Leçon 3 • Processus stochastiques en temps discret

Présente les marches aléatoires, les chaînes de Markov et les martingales en temps discret. Fournit une intuition avant la transition vers les modèles en temps continu.

Leçon 4 • Construction du mouvement brownien

Définit le mouvement brownien standard et ses propriétés clés, notamment la continuité et la variation quadratique. Forme la base du calcul d'Itô.

Leçon 1 • Cadre de Black-Scholes-Merton

Dérive l'EDP de Black-Scholes-Merton et la formule fermée de tarification d'options. Relie le calcul d'Itô et la mesure risque-neutre à la tarification pratique.

Leçon 2 • Options exotiques et à dépendance de trajectoire

Tarifie les options barrière, asiatiques et lookback à l'aide de méthodes analytiques et de simulation. Étend le cadre BSM aux structures de paiement non standard.

Leçon 3 • Modélisation de la volatilité et volatilité implicite

Analyse le smile de volatilité, l'asymétrie et la structure par terme à partir des prix d'options de marché. Introduit les concepts de modèles de volatilité locale et stochastique.

Leçon 4 • Modèles binomiaux et en treillis

Construit des arbres binomiaux en temps discret pour la tarification d'options et l'exercice américain. Fait le pont entre l'intuition des modèles discrets et continus.

Leçon 1 • Structure par terme des taux d'intérêt

Construit les courbes de rendement zéro-coupon et les courbes de taux forward à partir des données de marché. Relie les formes des courbes aux théories économiques des taux d'intérêt.

Leçon 2 • Cadre de Heath-Jarrow-Morton

Modélise l'évolution de l'ensemble de la courbe des taux forward à l'aide de la condition de non-dérive HJM. Généralise les modèles de taux court à une dynamique de taux de dimension infinie.

Leçon 3 • Tarification des obligations et mesures de rendement

Dérive les formules de valeur actuelle pour les obligations à coupon et définit le rendement, la duration et la convexité. Établit la boîte à outils quantitative pour l'analyse des titres à revenu fixe.

Leçon 4 • Modèles de taux court et modèles affines

Développe les modèles de Vasicek, CIR et affines de structure par terme pour la dynamique des taux d'intérêt. Permet la tarification analytique des obligations sous des taux stochastiques.

Leçon 1 • Modèles multifactoriels

Étend le CAPM aux modèles factoriels de Fama-French et de la théorie d'arbitrage. Permet l'attribution de rendement et la décomposition du risque à travers plusieurs facteurs.

Leçon 2 • Mesure et attribution de performance

Quantifie la performance du portefeuille à l'aide des ratios de Sharpe, Sortino et d'information. Décompose les rendements en effets d'allocation et de sélection.

Leçon 3 • Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

Dérive l'équation de tarification d'équilibre du CAPM et le bêta comme mesure du risque systématique. Relie la théorie du portefeuille à la tarification des actifs et au coût du capital.

Leçon 4 • Optimisation de portefeuille sous contraintes

Résout les problèmes de portefeuille avec des contraintes d'achat seul, budgétaires et factorielles à l'aide de la méthode du lagrangien et de la programmation quadratique. Fait le pont entre la théorie et la mise en œuvre pratique.

Leçon 1 • Copules et modélisation de la dépendance

Modélise la dépendance de queue conjointe à l'aide des copules gaussiennes, t et archimédiennes. Aborde les limites de la corrélation linéaire dans l'agrégation des risques.

Leçon 2 • Modélisation du risque de crédit

Quantifie la probabilité de défaut, la perte en cas de défaut et l'exposition au crédit à l'aide de modèles structurels et de forme réduite. Soutient la gestion du portefeuille de crédit.

Leçon 3 • Stratégies de couverture et gestion des Grecques

Conçoit des couvertures de delta, gamma et véga pour les portefeuilles de produits dérivés. Relie les sensibilités au risque au rééquilibrage dynamique et à l'explication du P&L.

Leçon 4 • Value at Risk et Expected Shortfall

Définit la VaR et l'Expected Shortfall comme mesures de risque cohérentes et les dérive analytiquement et par simulation. Relie les mesures aux exigences d'adéquation des fonds propres.

Leçon 1 • Calibration et validation de modèles

Calibre les modèles de tarification sur les cotations de marché et valide l'ajustement à l'aide de diagnostics statistiques. Garantit que les modèles sont à la fois mathématiquement cohérents et cohérents avec le marché.

Leçon 2 • Algorithmes d'optimisation pour la finance

Implémente les méthodes de descente de gradient, Newton-Raphson et les algorithmes évolutionnaires pour la calibration de modèles et l'optimisation de portefeuille. Aborde les problèmes de convergence et de minima locaux.

Leçon 3 • Intégration numérique et méthodes de Fourier

Applique la quadrature de Gauss et la transformée de Fourier rapide à la tarification d'options sous fonctions caractéristiques. Permet une tarification efficace pour les modèles sans forme fermée.

Leçon 4 • Méthodes de simulation Monte Carlo

Génère des trajectoires de prix d'actifs et calcule les prix d'options et les mesures de risque par simulation. Introduit des techniques de réduction de la variance pour améliorer l'efficacité de calcul.