Cours de processus stochastiques

Leçon 1 • Espérance et moments

Définit l'espérance basée sur l'intégrale de Lebesgue et les fonctionnelles de moments. Ces outils quantifient le comportement moyen et la variabilité dans les modèles stochastiques.

Leçon 2 • Mesures de probabilité et axiomes

Présente les axiomes de Kolmogorov et les probabilités basées sur la théorie de la mesure. Fournit la base rigoureuse pour tous les énoncés probabilistes des chapitres suivants.

Leçon 3 • Concepts de convergence en probabilité

Distingue la convergence presque sûre, en probabilité et en moyenne quadratique. Prépare les étudiants à analyser le comportement limite des suites stochastiques.

Leçon 4 • Variables aléatoires et distributions

Couvre les variables aléatoires discrètes et continues ainsi que leurs distributions. Fait le lien entre la théorie abstraite de la mesure et la modélisation probabiliste pratique.

Leçon 1 • Définition et classification des processus

Formalise un processus stochastique comme une famille indexée de variables aléatoires. La classification par temps discret ou continu et par espace d'états discret ou continu guide la sélection du modèle.

Leçon 2 • Stationnarité et ergodicité

Définit la stationnarité stricte et au sens large ainsi que les propriétés ergodiques. Ces concepts sous-tendent l'analyse des séries temporelles et les calculs de moyennes à long terme.

Leçon 3 • Distributions de dimension finie

Caractérise les processus à travers leurs familles de distributions de dimension finie. Le théorème de consistance de Kolmogorov garantit l'existence de processus bien définis.

Leçon 1 • Classification des états

Classe les états comme transients, récurrents ou absorbants en fonction des probabilités de retour. La classification détermine l'occupation à long terme et les résultats d'absorption.

Leçon 2 • Analyse de l'absorption et du premier passage

Calcule les probabilités d'absorption et les temps d'atteinte espérés à l'aide de systèmes linéaires. Ces calculs sont essentiels pour les applications en fiabilité et en théorie des files d'attente.

Leçon 3 • Distributions stationnaires et limites

Obtient les conditions d'existence et d'unicité des distributions stationnaires. Relie la théorie ergodique aux interprétations fréquentistes à long terme.

Leçon 4 • Réversibilité et équilibre détaillé

Introduit les chaînes réversibles en temps et la condition d'équilibre détaillé. La réversibilité simplifie le calcul de la distribution stationnaire dans les réseaux complexes.

Leçon 1 • Définition et propriétés du processus de Poisson

Caractérise le processus de Poisson par ses accroissements indépendants et ses comptages distribués selon une loi de Poisson. Trois définitions équivalentes sont comparées pour la flexibilité de la modélisation.

Leçon 2 • Théorème de la récompense de renouvellement et applications

Applique le théorème de la récompense de renouvellement pour calculer les récompenses moyennes à long terme par unité de temps. Couvre l'optimisation des politiques de gestion des stocks, de maintenance et de remplacement.

Leçon 3 • Fondements de la théorie du renouvellement

Définit les processus de renouvellement et établit l'équation de renouvellement et le théorème de renouvellement élémentaire. Fournit le cadre asymptotique pour l'analyse des taux à long terme.

Leçon 4 • Superposition et écrémage

Établit les règles de fusion et de division des processus de Poisson. Ces opérations modélisent le routage, le multiplexage et l'échantillonnage aléatoire de flux d'événements.

Leçon 1 • Distributions stationnaires et ergodicité

Étend la théorie ergodique en temps discret aux contextes en temps continu. Les conditions de récurrence positive et d'unicité de la distribution stationnaire sont établies.

Leçon 2 • Matrice génératrice et équations de Kolmogorov

Définit le générateur infinitésimal et établit les équations prospectives et rétrogrades. Ces équations différentielles régissent l'évolution des probabilités de transition.

Leçon 3 • Temps de séjour exponentiels et taux

Établit que les temps de séjour sans mémoire suivent des distributions exponentielles. Cette propriété permet la formulation basée sur le générateur des chaînes en temps continu.

Leçon 4 • Processus de naissance et de mort

Analyse les chaînes avec transitions uniquement vers des états adjacents, couvrant les modèles de population et de files d'attente. Les distributions stationnaires sous forme fermée sont obtenues via l'équilibre détaillé.

Leçon 1 • Définition et exemples de martingales

Définit les martingales, les sous-martingales et les surmartingales avec des exemples canoniques. La reconnaissance d'une structure de martingale permet de puissants raccourcis analytiques.

Leçon 2 • Espérance conditionnelle et filtrations

Définit rigoureusement l'espérance conditionnelle et introduit les filtrations comme flux d'information. Ces concepts sous-tendent la définition formelle des martingales.

Leçon 3 • Temps d'arrêt et théorème d'arrêt optionnel

Définit les temps d'arrêt et énonce les conditions du théorème d'arrêt optionnel. Applique le théorème pour calculer les temps de sortie espérés et les probabilités de ruine.

Leçon 4 • Théorèmes de convergence des martingales

Présente l'inégalité des traversées de Doob et le théorème de convergence presque sûre. Ces résultats établissent quand les limites des martingales existent et sont intégrables.

Leçon 1 • Propriétés de Markov et de martingale

Démontre que le mouvement brownien est à la fois un processus de Markov et une martingale. Obtient des martingales clés, y compris la martingale brownienne exponentielle et quadratique.

Leçon 2 • Processus gaussiens et noyaux de covariance

Définit les processus gaussiens à travers leurs distributions gaussiennes de dimension finie. Le choix du noyau de covariance détermine la régularité et la structure de corrélation.

Leçon 3 • Construction du mouvement brownien

Construit le mouvement brownien via la mesure de Wiener et la construction de Lévy-Ciesielski. Établit l'existence d'un processus avec des trajectoires continues et des accroissements indépendants.

Leçon 4 • Propriétés des trajectoires browniennes

Analyse la variation quadratique, la continuité höldérienne et la loi du logarithme itéré. Ces propriétés trajectorielles sont essentielles pour le développement du calcul stochastique.

Leçon 1 • Théorème de Girsanov et changement de mesure

Énonce le théorème de Girsanov pour changer la dérive via une mesure de probabilité équivalente. Ce résultat est fondamental pour la tarification neutre au risque et les méthodes de rapport de vraisemblance.

Leçon 2 • Méthodes numériques pour les EDS

Introduit les schémas d'Euler-Maruyama et de Milstein pour simuler les solutions des EDS. Analyse les ordres de convergence forte et faible pour un contrôle pratique des erreurs.

Leçon 3 • Équations différentielles stochastiques

Formule les EDS et établit l'existence et l'unicité sous des conditions de Lipschitz. Couvre les EDS linéaires et le processus d'Ornstein-Uhlenbeck comme exemples canoniques.

Leçon 4 • Formule d'Itô et changement de variables

Obtient la formule d'Itô comme règle de dérivation en chaîne stochastique pour les fonctions deux fois dérivables. Applique la formule pour calculer la dynamique des processus transformés.