Curso de Cálculo 3

Aula 1 • Produto Vetorial e Suas Aplicações

Desenvolve o produto vetorial pelo método do determinante e explora seu significado geométrico. Permite o cálculo de vetores normais, torque e áreas de paralelogramos.

Aula 2 • Coordenadas e Pontos no Espaço 3D

Apresenta o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional e a fórmula da distância. Fornece a estrutura espacial necessária para todo o trabalho futuro com vetores e superfícies.

Aula 3 • Produto Escalar e Suas Aplicações

Aborda a fórmula do produto escalar, o ângulo entre vetores e a ortogonalidade. Conecta-se diretamente a projeções e vetores normais usados em equações de planos.

Aula 4 • Retas e Planos no Espaço

Deriva equações paramétricas, simétricas e padrão para retas e planos usando vetores. Constrói o raciocínio espacial necessário para superfícies e funções de várias variáveis.

Aula 1 • Comprimento de Arco e Curvatura

Deriva o comprimento de arco para curvas no espaço e define curvatura usando o referencial TNB. Esses conceitos aparecem em aplicações de física e geometria diferencial.

Aula 2 • Integração de Funções Vetoriais

Aborda integrais definidas e indefinidas de funções vetoriais componente a componente. Conecta-se à posição, velocidade e aceleração em problemas de movimento.

Aula 3 • Introdução às Funções Vetoriais

Define funções vetoriais e seus domínios, limites e continuidade. Estabelece a conexão entre curvas paramétricas e funções vetoriais.

Aula 4 • Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração

Aplica o cálculo vetorial para analisar movimento de projéteis e circular usando componentes de aceleração tangencial e normal. Sintetiza todas as habilidades das seções anteriores.

Aula 1 • Planos Tangentes e Aproximação Linear

Deriva equações de planos tangentes e linearização para funções de duas variáveis. Conecta-se a diferenciais e estimativa de erros usada em problemas aplicados.

Aula 2 • Derivadas Direcionais e o Gradiente

Define derivadas direcionais e o vetor gradiente, relacionando-os à direção de maior crescimento. Propriedades do gradiente são essenciais para otimização e multiplicadores de Lagrange.

Aula 3 • Funções de Várias Variáveis

Define funções de várias variáveis, seus domínios, imagens e curvas de nível. Visualizar curvas e superfícies de nível prepara os alunos para o trabalho com gradiente e otimização.

Aula 4 • A Regra da Cadeia para Funções de Várias Variáveis

Estende a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis usando árvores de dependência. Permite diferenciação implícita e problemas de taxas relacionadas em dimensões superiores.

Aula 5 • Limites e Continuidade em Várias Variáveis

Estende conceitos de limite para configurações com várias variáveis, incluindo limites dependentes do caminho. Estabelece condições de continuidade necessárias para teoremas de diferenciabilidade.

Aula 1 • Teste da Segunda Derivada em Duas Variáveis

Aplica o discriminante D para classificar pontos críticos como máximos, mínimos ou pontos de sela. Estende o raciocínio da segunda derivada de uma variável para superfícies.

Aula 2 • Extremos Locais e Pontos Críticos

Identifica pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero e os classifica. Fornece a base para o teste da segunda derivada e a otimização global.

Aula 3 • Extremos Absolutos em Regiões Fechadas

Encontra máximos e mínimos absolutos em domínios fechados e limitados verificando o interior e a fronteira. Espelha o método do intervalo fechado do cálculo de uma variável.

Aula 1 • Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Estende integrais duplas para regiões dos tipos I e II com limites variáveis. Mudar a ordem de integração frequentemente simplifica integrais que seriam intratáveis.

Aula 2 • Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas

Apresenta coordenadas esféricas e o jacobiano ρ² sen φ para integrais triplas. Ideal para esferas, cones e outros sólidos radialmente simétricos.

Aula 3 • Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Converte integrais duplas para a forma polar usando o fator jacobiano r. Coordenadas polares simplificam integrais sobre regiões circulares e simétricas.

Aula 4 • Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

Transforma integrais triplas usando coordenadas cilíndricas para sólidos com simetria axial. O jacobiano r simplifica a integração sobre cilindros e cones.

Aula 5 • Integrais Triplas em Coordenadas Retangulares

Configura e avalia integrais triplas sobre regiões sólidas em paralelepípedos e gerais. Calcula volume, massa e momentos de objetos sólidos.

Aula 1 • Mudança de Variáveis e o Jacobiano

Deriva a fórmula geral de mudança de variáveis usando o determinante jacobiano. Unifica as substituições polar, cilíndrica e esférica sob um único arcabouço.

Aula 2 • Área de Superfície via Integrais Duplas

Calcula a área de superfície de gráficos z = f(x, y) usando a fórmula da integral dupla. Estende as ideias de comprimento de arco do cálculo de uma variável para superfícies.

Aula 3 • Aplicações de Probabilidade de Integrais Duplas

Aplica integrais duplas a funções de densidade de probabilidade conjunta e valores esperados. Demonstra a abrangência da integração múltipla além da geometria.

Aula 1 • Integrais de Linha de Campos Vetoriais

Define e calcula integrais de linha de campos vetoriais que representam trabalho realizado por uma força. Conecta-se a interpretações de circulação e fluxo em física.

Aula 2 • Integrais de Linha de Funções Escalares

Avalia integrais de linha de funções escalares em relação ao comprimento de arco. Calcula massa e centro de massa de objetos em forma de fio.

Aula 3 • Campos Vetoriais em Duas e Três Dimensões

Define campos vetoriais, os esboça e identifica campos gradiente. Reconhecer campos conservativos reduz significativamente o cálculo da integral de linha.

Aula 4 • Teorema Fundamental para Integrais de Linha

Enuncia e aplica o teorema fundamental a campos conservativos, mostrando independência de caminho. Encontrar funções potenciais reduz integrais de linha a avaliações na fronteira.

Aula 1 • Integrais de Superfície de Campos Vetoriais e Fluxo

Define fluxo como a integral de superfície de um campo vetorial multiplicado escalarmente pelo vetor normal unitário. A orientação das superfícies determina o sinal das integrais de fluxo.

Aula 2 • Integrais de Superfície de Funções Escalares

Avalia integrais de superfície de funções escalares sobre superfícies paramétricas e na forma de gráfico. Calcula massa e valor médio de uma distribuição superficial.

Aula 3 • O Teorema da Divergência

Relaciona o fluxo através de uma superfície fechada à integral tripla da divergência sobre o volume delimitado. Completa a unificação dos teoremas do cálculo vetorial.

Aula 4 • Superfícies Paramétricas e Suas Áreas

Representa superfícies parametricamente e calcula a área de superfície usando o produto vetorial das derivadas parciais. Generaliza a fórmula de área de superfície anterior para superfícies arbitrárias.

Aula 5 • Teorema de Stokes

Relaciona a integral de superfície do rotacional de F à integral de linha ao redor da curva de fronteira. Generaliza o teorema de Green para superfícies em três dimensões.