Curso de Cálculo Vetorial

Aula 1 • Revisão de Vetores e Sistemas de Coordenadas

Estabelece a álgebra vetorial e a geometria de coordenadas 3D como a linguagem do cálculo vetorial. Conecta os produtos escalar e vetorial a cálculos futuros de gradiente e rotacional.

Aula 2 • Curvas Paramétricas e Funções Vetoriais

Define funções com valores vetoriais e representações paramétricas de curvas. Estabelece a base para integrais de linha e cálculos de comprimento de arco em capítulos posteriores.

Aula 3 • Funções de Várias Variáveis

Apresenta funções com valores escalares de duas e três variáveis e seus domínios. Fornece a base funcional necessária antes da introdução da diferenciação.

Aula 1 • Derivadas Parciais: Definição e Cálculo

Define derivadas parciais geométrica e algebricamente para funções de duas ou mais variáveis. Ancora o capítulo estabelecendo a operação central de diferenciação.

Aula 2 • Derivadas Direcionais

Estende a diferenciação para direções arbitrárias usando a fórmula do produto escalar com o gradiente. Constrói a intuição para conceitos de fluxo e taxa de variação usados nos capítulos de integração.

Aula 3 • O Vetor Gradiente

Apresenta o gradiente como o vetor das derivadas parciais e seu significado geométrico. Conecta-se a derivadas direcionais e, posteriormente, a campos conservativos.

Aula 4 • Planos Tangentes e Aproximação Linear

Deduz a equação do plano tangente e o diferencial total para estimativa de erros. Fornece o arcabouço de linearização local que fundamenta a regra da cadeia e a otimização.

Aula 1 • Pontos Críticos e o Teste da Segunda Derivada

Identifica pontos críticos via condição de gradiente nulo e os classifica usando o determinante da hessiana. Estabelece o fluxo de trabalho central da otimização sem restrições.

Aula 2 • Extremos Absolutos em Regiões Fechadas

Estende a otimização para domínios compactos combinando pontos críticos interiores com análise de fronteira. Prepara os alunos para problemas com restrições, reforçando o raciocínio sobre fronteiras.

Aula 3 • Multiplicadores de Lagrange: Restrição Única

Apresenta o método dos multiplicadores de Lagrange para otimizar sujeito a uma restrição de igualdade. Conecta a geometria do gradiente às superfícies de restrição para uma compreensão intuitiva.

Aula 1 • Integrais Triplas e Sistemas de Coordenadas

Apresenta integrais triplas sobre regiões 3D em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. Conecta a escolha de coordenadas à simetria para eficiência computacional.

Aula 2 • Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

Define a integral dupla via somas de Riemann e a avalia usando o teorema de Fubini. Estabelece a técnica de integral iterada sobre a qual toda a integração subsequente se constrói.

Aula 3 • Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Transforma integrais duplas para a forma polar usando o fator jacobiano r. Habilita a avaliação eficiente sobre regiões circulares e com simetria radial.

Aula 4 • Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Estende a integração dupla para regiões não retangulares do tipo I e tipo II. Desenvolve a habilidade de escolher e inverter a ordem de integração para eficiência.

Aula 1 • Introdução aos Campos Vetoriais

Define campos vetoriais como atribuições de vetores a pontos e os visualiza por meio de gráficos de campo. Estabelece o contexto físico de campos de força, velocidade e fluxo.

Aula 2 • Teorema de Green no Plano

Enuncia e aplica o teorema de Green para converter integrais de linha em integrais duplas sobre regiões delimitadas. Faz a ponte entre integrais de linha em 2D e os teoremas de superfície e volume que virão.

Aula 3 • Integrais de Linha de Funções Escalares

Define e avalia integrais de linha de funções escalares em relação ao comprimento de arco. Conecta-se a problemas de massa de fio e valor médio ao longo de curvas.

Aula 4 • Campos Conservativos e Funções Potenciais

Identifica campos vetoriais conservativos via independência do caminho e a condição de rotacional nulo. Desenvolve a técnica de encontrar funções potenciais para campos exatos.

Aula 1 • Rotacional: Cálculo e Significado

Calcula o rotacional de um campo vetorial e o interpreta como rotação local ou densidade de circulação. Conecta-se ao teorema de Stokes e às condições de campo irrotacional.

Aula 2 • O Operador Del e Suas Formas

Apresenta o operador nabla e suas três formas principais: gradiente, divergente e rotacional. Fornece um arcabouço simbólico unificado para todas as operações diferenciais no cálculo vetorial.

Aula 3 • Divergente: Cálculo e Significado

Calcula o divergente de campos vetoriais e o interpreta como intensidade de fonte ou sorvedouro local. Conecta-se ao teorema do divergente e às equações de continuidade de fluidos.

Aula 4 • O Laplaciano e Funções Harmônicas

Define o laplaciano como o divergente do gradiente e identifica funções harmônicas. Prepara os alunos para aplicações em teoria do potencial e equações diferenciais parciais.

Aula 1 • Integrais de Fluxo de Campos Vetoriais

Define fluxo como a integral de superfície de um campo vetorial multiplicado escalarmente pela normal unitária exterior. Fornece a base física para o teorema do divergente.

Aula 2 • Parametrizando Superfícies em 3D

Define parametrizações de superfície usando dois parâmetros e calcula o produto vetorial dos vetores tangentes. Estabelece o elemento de superfície dS necessário para todas as integrais de superfície.

Aula 3 • O Teorema do Divergente

Converte integrais de fluxo sobre superfícies fechadas em integrais de volume do divergente. Completa o trio de teoremas fundamentais e unifica a teoria de integração do curso.

Aula 4 • Integrais de Superfície de Funções Escalares

Avalia integrais de funções escalares sobre superfícies parametrizadas para massa e valor médio. Conecta-se ao arcabouço de integral dupla estabelecido no capítulo de integrais múltiplas.

Aula 1 • Aplicações em Mecânica dos Fluidos

Aplica divergente, rotacional e teoremas integrais para modelar escoamento de fluidos incompressível e irrotacional. Demonstra como o cálculo vetorial impulsiona diretamente a modelagem física.

Aula 2 • Conectando os Três Teoremas Fundamentais

Unifica o teorema fundamental das integrais de linha, os teoremas de Green, Stokes e do divergente sob um único arcabouço. Revela a dualidade operador-fronteira comum a todos os quatro resultados.

Aula 3 • Problemas de Síntese e Estratégias de Demonstração

Apresenta problemas de múltiplas etapas que exigem seleção e combinação de teoremas de todo o curso. Constrói fluência estratégica na resolução de problemas como habilidade culminante.

Aula 4 • Visão Geral do Teorema de Stokes Generalizado

Apresenta formas diferenciais e a derivada exterior para enunciar o teorema de Stokes generalizado. Fornece profundidade conceitual sem exigir pré-requisitos completos de geometria diferencial.