Cours d'analyse mathématique 2

Leçon 1 • Rappel sur les limites et la continuité

Revoit les lois des limites, les limites unilatérales et les conditions de continuité. Établit les fondements analytiques nécessaires à l'intégration et à la convergence des séries.

Leçon 2 • Théorème fondamental de l'analyse

Relie la dérivation et l'intégration par les deux parties du théorème fondamental. Construit le pont conceptuel vers le calcul des intégrales définies et indéfinies.

Leçon 3 • Règles de dérivation et applications

Revoit les règles du produit, du quotient et de la chaîne, ainsi que la dérivation implicite. Assure la maîtrise de la dérivation nécessaire pour les techniques d'intégration et les équations différentielles.

Leçon 1 • Intégrales impropres

Étend l'intégration définie aux intervalles non bornés et aux intégrandes discontinus à l'aide de limites. Introduit les concepts de convergence et de divergence essentiels pour l'étude des séries.

Leçon 2 • Substitution trigonométrique

Élimine les radicaux dans les intégrandes en substituant des expressions trigonométriques. Couvre les trois cas standard et la substitution inverse vers les variables d'origine.

Leçon 3 • Intégration par parties

Établit et applique la formule d'intégration par parties en utilisant l'heuristique LIATE. Relie la règle du produit et traite les applications répétées et cycliques.

Leçon 4 • Décomposition en fractions partielles

Décompose les fractions rationnelles en fractions plus simples pour l'intégration. Traite les facteurs linéaires distincts, linéaires répétés et quadratiques irréductibles.

Leçon 1 • Aire entre les courbes

Calcule les aires délimitées par deux ou plusieurs courbes à l'aide de tranches verticales et horizontales. Renforce les compétences de mise en place d'intégrales et d'analyse des points d'intersection.

Leçon 2 • Volume par coques cylindriques

Calcule les volumes de révolution en utilisant la méthode des coques comme alternative aux disques. Met en évidence quand les coques sont plus efficaces que les rondelles.

Leçon 3 • Volumes par les méthodes des disques et des rondelles

Génère des solides de révolution et calcule leurs volumes à l'aide de sections transversales en disques et rondelles. Développe le raisonnement spatial pour les applications intégrales tridimensionnelles.

Leçon 4 • Longueur d'arc et aire de surface

Établit et applique les formules de la longueur d'arc des courbes et de l'aire de surface de révolution. Relie les concepts de géométrie différentielle au calcul d'intégrales définies.

Leçon 1 • Fondamentaux des équations différentielles

Définit les EDO, leur ordre et leur degré, et les classe par linéarité. Établit le vocabulaire et le cadre conceptuel pour tout le travail ultérieur sur les EDO.

Leçon 2 • Champs de pentes et analyse qualitative

Construit des champs de pentes pour visualiser le comportement des solutions sans formules explicites. Développe une intuition géométrique qui complète les méthodes de résolution analytiques.

Leçon 3 • Équations différentielles à variables séparables

Résout des EDO en séparant les variables et en intégrant chaque côté indépendamment. Applique la technique aux problèmes de croissance exponentielle, de décroissance et de mélange.

Leçon 1 • Suites spéciales et taux de croissance

Compare les taux de croissance des suites polynomiales, exponentielles et factorielles. Prépare les étudiants aux tests du rapport et de la racine dans les chapitres sur les séries.

Leçon 2 • Définition et visualisation des suites

Introduit les suites comme des fonctions sur les entiers positifs et explore les définitions explicites et par récurrence. Fournit le point d'entrée conceptuel pour les séries infinies.

Leçon 3 • Suites monotones et bornées

Classe les suites comme monotones croissantes ou décroissantes et identifie les bornes. Applique le théorème de convergence monotone pour garantir la convergence.

Leçon 1 • Séries et sommes partielles

Définit les séries infinies comme des limites de suites de sommes partielles et introduit les séries géométriques. Établit le test de divergence comme premier outil de filtrage de convergence.

Leçon 2 • Test de l'intégrale et séries p

Utilise le test de l'intégrale pour relier la convergence des séries aux intégrales impropres. Applique les résultats pour classer les séries p et estimer les bornes du reste.

Leçon 3 • Tests du rapport et de la racine

Applique les tests du rapport et de la racine aux séries avec des termes factoriels et exponentiels. Identifie les cas non concluants et sélectionne des tests alternatifs en conséquence.

Leçon 4 • Séries alternées et convergence absolue

Teste les séries alternées en utilisant le test des séries alternées et estime les bornes d'erreur. Distingue la convergence absolue de la convergence conditionnelle.

Leçon 1 • Séries de Taylor et de Maclaurin

Construit les séries de Taylor à partir des dérivées successives et identifie les séries de Maclaurin standard. Relie l'approximation polynomiale à la représentation exacte de la fonction.

Leçon 2 • Polynômes de Taylor et bornes d'erreur

Utilise les polynômes de Taylor pour approximer les valeurs de fonctions et quantifie l'erreur avec le théorème du reste de Taylor. Applique les bornes pour atteindre la précision souhaitée.

Leçon 3 • Dérivation et intégration des séries entières

Dérive et intègre les séries entières terme à terme dans l'intervalle de convergence. Génère de nouvelles représentations en séries à partir de représentations connues.

Leçon 4 • Notions fondamentales sur les séries entières

Définit les séries entières centrées en un point et détermine le rayon et l'intervalle de convergence. Applique le test du rapport pour trouver les bornes de convergence.

Leçon 1 • Longueur d'arc et aire de surface en paramétrique

Établit les formules de longueur d'arc et d'aire de surface pour les courbes paramétriques. Étend les résultats du chapitre 3 au cadre paramétrique.

Leçon 2 • Introduction aux coordonnées polaires

Effectue des conversions entre coordonnées polaires et cartésiennes et trace des courbes polaires standard. Établit le système de coordonnées pour le calcul polaire.

Leçon 3 • Courbes paramétriques et calcul différentiel et intégral

Définit les équations paramétriques et calcule les pentes et la concavité des courbes paramétriques. Relie les dérivées paramétriques aux interprétations cartésiennes standard.