Cours d'analyse mathématique

Leçon 1 • Révision des fonctions et de leurs propriétés

Couvre l'ensemble de définition, l'image, la composition et les fonctions réciproques, prérequis pour l'analyse. Établit le langage fonctionnel utilisé tout au long du cours.

Leçon 2 • Techniques algébriques d'évaluation des limites

Enseigne les méthodes de substitution, factorisation, rationalisation et conjugué pour calculer des limites. Fournit les outils pour résoudre les formes indéterminées sans analyse.

Leçon 3 • Continuité et discontinuité

Définit la continuité en un point et sur un intervalle, en classifiant les discontinuités apparentes, par saut et infinies. Prépare aux exigences de dérivabilité.

Leçon 4 • Introduction au concept de limite

Introduit les limites de manière intuitive par des tableaux et des graphiques avant la définition formelle. Relie la compréhension informelle au cadre précis epsilon-delta.

Leçon 1 • Règles de base de la dérivation

Introduit les règles de la puissance, de la constante, de la somme et de la différence pour une dérivation rapide. Réduit le calcul répétitif des limites à des procédures algébriques systématiques.

Leçon 2 • Règles du produit et du quotient

Étend la dérivation aux produits et quotients de fonctions avec des démonstrations formelles. Permet la dérivation de fractions rationnelles et de fonctions de type mixte.

Leçon 3 • La dérivée comme limite

Obtient la dérivée à l'aide du taux d'accroissement et l'interprète comme un taux de variation instantané. Ancre toutes les règles de dérivation dans la définition de la limite.

Leçon 4 • Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Obtient et applique les règles de dérivation pour les fonctions exponentielles et logarithmiques naturelles et générales. Complète la boîte à outils de dérivation des fonctions élémentaires.

Leçon 1 • Concavité et dérivée seconde

Introduit la concavité, les points d'inflexion et le test de la dérivée seconde pour classer les extremums. Complète la boîte à outils analytique pour l'étude complète des courbes.

Leçon 2 • Théorème des accroissements finis et règle de L'Hôpital

Démontre et applique le théorème des accroissements finis et utilise la règle de L'Hôpital pour les limites indéterminées. Fait le pont entre les résultats théoriques et l'évaluation pratique des limites.

Leçon 3 • Approximation linéaire et différentielles

Utilise la tangente pour approximer les valeurs d'une fonction et introduit la notation différentielle. Relie la signification de la dérivée aux techniques d'estimation pratiques.

Leçon 4 • Problèmes d'optimisation

Formule et résout des problèmes d'optimisation à l'aide des dérivées et du théorème des valeurs extrêmes. Développe des compétences de modélisation pour maximiser ou minimiser des quantités réelles.

Leçon 5 • Dérivation implicite et taux liés

Dérive des relations définies implicitement et relie les taux de variation de variables liées. Fournit des outils pour les problèmes où la forme explicite de la fonction n'est pas disponible.

Leçon 1 • Le théorème fondamental de l'analyse

Énonce et démontre les deux parties du théorème fondamental, reliant la dérivation et l'intégration. Permet l'évaluation exacte des intégrales définies à l'aide de primitives.

Leçon 2 • Règle de substitution pour l'intégration

Introduit la substitution u comme contrepartie intégrale de la règle de dérivation en chaîne. Étend la gamme des fonctions intégrables aux expressions composées.

Leçon 3 • Sommes de Riemann et intégrale définie

Construit l'intégrale définie comme la limite de sommes de Riemann en utilisant les approximations par les extrémités gauche, droite et le point milieu. Fournit le fondement géométrique et analytique de l'intégration.

Leçon 4 • Primitives et intégrales indéfinies

Définit les primitives et l'intégrale indéfinie, en introduisant la constante d'intégration. Établit l'intégration comme le processus inverse de la dérivation.

Leçon 1 • Intégrales trigonométriques

Évalue les intégrales de puissances et de produits de sinus, cosinus, tangente et sécante. Développe des techniques spécialisées pour les familles de fonctions trigonométriques.

Leçon 2 • Décomposition en fractions partielles

Décompose les fractions rationnelles en fractions partielles pour l'intégration. Couvre les cas de facteurs linéaires distincts, linéaires répétés et quadratiques irréductibles.

Leçon 3 • Substitution trigonométrique

Élimine les racines carrées dans les intégrandes à l'aide de substitutions en sinus, tangente et sécante. Résout les intégrales impliquant des expressions de la forme a^2 moins x^2 et formes apparentées.

Leçon 4 • Intégration par parties

Obtient et applique la formule d'intégration par parties, en choisissant u et dv de manière stratégique. Traite les produits de fonctions polynomiales, exponentielles et logarithmiques.

Leçon 1 • Valeur moyenne et applications aux probabilités

Calcule la valeur moyenne d'une fonction et applique l'intégration aux distributions de probabilité continues. Relie l'intégration aux applications statistiques et analytiques.

Leçon 2 • Volumes par tranches et par disques

Calcule les volumes de solides de révolution à l'aide des méthodes des disques et des rondelles. Relie l'intégration de l'aire de la section transversale à la géométrie tridimensionnelle.

Leçon 3 • Longueur d'arc et aire

Obtient et applique les formules pour la longueur d'arc d'une courbe et l'aire d'une surface de révolution. Étend l'intégration aux mesures géométriques unidimensionnelles et bidimensionnelles.

Leçon 4 • Travail, force et applications physiques

Modélise le travail effectué par des forces variables et la pression d'un fluide à l'aide d'intégrales définies. Démontre l'intégration comme un outil d'accumulation de quantités physiques.

Leçon 1 • Séries entières et rayon de convergence

Définit les séries entières, détermine le rayon et l'intervalle de convergence, et effectue des opérations terme à terme. Prépare à la construction des séries de Taylor et de Maclaurin.

Leçon 2 • Suites et leurs limites

Définit formellement les suites, examine la convergence et applique les lois des limites aux suites. Fournit le fondement pour comprendre le comportement des séries infinies.

Leçon 3 • Séries alternées et convergence absolue

Analyse les séries alternées à l'aide du test des séries alternées et distingue la convergence absolue de la convergence conditionnelle. Complète le cadre de classification de la convergence.

Leçon 4 • Séries de Taylor et de Maclaurin

Construit les séries de Taylor et de Maclaurin pour les fonctions standards et estime l'erreur à l'aide du théorème du reste. Permet l'approximation de fonctions et le calcul basé sur les séries.

Leçon 5 • Séries infinies et sommes partielles

Introduit les séries infinies comme limites de sommes partielles et examine les séries géométriques et télescopiques. Établit le cadre pour toute analyse ultérieure de la convergence.

Leçon 1 • Dérivées partielles et gradient

Calcule les dérivées partielles, les dérivées partielles d'ordre supérieur et le vecteur gradient. Relie la dérivation partielle aux taux de variation directionnels.

Leçon 2 • Règle de dérivation en chaîne multivariable et dérivation implicite

Étend la règle de dérivation en chaîne aux compositions de fonctions multivariables et aux relations implicites. Permet la dérivation dans des contextes multivariables paramétriques et définis implicitement.

Leçon 3 • Fonctions de plusieurs variables

Introduit les fonctions de deux et trois variables, leurs ensembles de définition, et les courbes et surfaces de niveau. Développe l'intuition spatiale nécessaire pour la dérivation et l'intégration multivariables.

Leçon 4 • Optimisation des fonctions multivariables

Trouve les points critiques des fonctions de deux variables et les classe à l'aide du test de la dérivée seconde. Introduit l'optimisation sous contrainte via les multiplicateurs de Lagrange.