Cours de calcul stochastique

Leçon 1 • Variables aléatoires et distributions

Définit les variables aléatoires comme des fonctions mesurables et caractérise leurs distributions. Établit le lien entre la théorie abstraite de la mesure et le calcul probabiliste pratique.

Leçon 2 • Théorie de la mesure et espaces de probabilité

Présente les sigma-algèbres, les ensembles mesurables et les mesures de probabilité comme fondement formel de l'aléatoire. Établit le langage utilisé dans tous les chapitres suivants.

Leçon 3 • Espérance et intégration

Développe l'intégrale de Lebesgue comme définition rigoureuse de l'espérance. Fournit les outils pour calculer les moments et appliquer les théorèmes de convergence.

Leçon 4 • Modes de convergence

Distingue la convergence presque sûre, en probabilité et Lp, ainsi que leurs relations. Permet aux étudiants d'analyser le comportement limite des suites stochastiques.

Leçon 1 • Processus de Markov et noyaux de transition

Présente la propriété de Markov et les noyaux de transition comme une classe particulière de processus stochastiques. Fournit le contexte pour les processus de diffusion étudiés ultérieurement.

Leçon 2 • Filtrations et processus adaptés

Formalise les filtrations comme des familles croissantes de sigma-algèbres représentant l'information au fil du temps. Introduit les processus adaptés et progressivement mesurables.

Leçon 3 • Martingales en temps discret

Développe les martingales, sous-martingales et surmartingales en temps discret avec les inégalités clés. Construit l'intuition avant l'extension en temps continu dans les chapitres suivants.

Leçon 4 • Processus gaussiens

Caractérise les processus gaussiens par leur fonction moyenne et leur fonction de covariance. Pose les bases du mouvement brownien comme processus gaussien canonique.

Leçon 1 • Propriétés des trajectoires du mouvement brownien

Analyse la continuité höldérienne, la non-dérivabilité et la variation infinie. Ces propriétés motivent le besoin d'une nouvelle théorie de l'intégration.

Leçon 2 • Construction du mouvement brownien

Présente la construction de Wiener et le développement en série de Lévy-Ciesielski. Démontre l'existence et fournit une intuition sur la nature irrégulière des trajectoires.

Leçon 3 • Mouvement brownien multidimensionnel et transformé

Étend le mouvement brownien à plusieurs dimensions et introduit des transformations clés. Prépare les étudiants aux équations différentielles stochastiques vectorielles.

Leçon 4 • Le mouvement brownien comme martingale

Établit le mouvement brownien et ses transformations clés comme des martingales. Relie les propriétés de trajectoire au cadre des martingales développé précédemment.

Leçon 1 • Intégrale d'Itô pour les processus simples

Définit l'intégrale d'Itô pour les processus élémentaires en escalier et établit l'isométrie. Fournit la base rigoureuse à partir de laquelle l'intégrale générale est étendue.

Leçon 2 • Propriétés de l'intégrale d'Itô

Dérive la linéarité, l'adaptation, la continuité et la variation quadratique des intégrales d'Itô. Dote les étudiants des outils pour manipuler les intégrales stochastiques dans les applications.

Leçon 3 • Limites de l'intégration classique

Montre pourquoi l'intégration de Riemann-Stieltjes échoue pour les trajectoires du mouvement brownien. Motive la construction d'une nouvelle intégrale adaptée aux intégrateurs à variation infinie.

Leçon 4 • Intégrale d'Itô par rapport aux martingales générales

Généralise l'intégrale d'Itô au-delà du mouvement brownien pour les martingales de carré intégrable. Élargit le cadre pour les applications aux processus à sauts et aux semimartingales générales.

Leçon 1 • Formule d'Itô multidimensionnelle

Étend la formule d'Itô aux fonctions de plusieurs processus d'Itô. Permet la différentiation des processus vectoriels et des termes de covariation.

Leçon 2 • Processus d'Itô et différentielles stochastiques

Définit les processus d'Itô comme solutions d'équations différentielles stochastiques sous forme intégrale. Introduit la notation différentielle utilisée dans le calcul stochastique appliqué.

Leçon 3 • Intégration par parties et règle du produit stochastique

Dérive la formule d'intégration par parties stochastique et ses applications. Fournit des outils pour transformer et simplifier les expressions intégrales stochastiques.

Leçon 4 • Formule d'Itô en une dimension

Dérive la formule d'Itô unidimensionnelle via le développement de Taylor et la variation quadratique. Établit la règle fondamentale du calcul pour les processus stochastiques.

Leçon 1 • Martingales locales et semimartingales

Définit les martingales locales via des suites de localisation et introduit les semimartingales. Élargit la classe des processus pour lesquels l'intégration stochastique est définie.

Leçon 2 • Martingales en temps continu

Étend la théorie des martingales au temps continu, couvrant les résultats de régularité et de décomposition. Fournit le socle théorique du calcul stochastique en temps continu.

Leçon 3 • Théorème de Girsanov

Dérive le théorème de Girsanov pour changer la dérive d'un mouvement brownien via un changement de mesure. Permet la transformation d'EDS en formes plus simples sous une mesure équivalente.

Leçon 4 • Applications du théorème de Girsanov

Applique les changements de mesure à la tarification en univers risque-neutre, au filtrage et à l'analyse des EDS. Démontre la puissance pratique du théorème de Girsanov dans plusieurs domaines.

Leçon 1 • Dépendance vis-à-vis des conditions initiales et des paramètres

Analyse comment les solutions d'EDS varient avec les données initiales et les paramètres, y compris les propriétés de flot. Prépare les étudiants à l'analyse de sensibilité et aux applications de contrôle.

Leçon 2 • Formulation et exemples d'EDS

Définit les EDS sous forme intégrale et présente des exemples canoniques, dont le mouvement brownien géométrique. Relie le cadre abstrait à des scénarios de modélisation concrets.

Leçon 3 • Existence et unicité des solutions fortes

Démontre l'existence et l'unicité sous des conditions de Lipschitz et de croissance linéaire. Établit le fondement théorique pour faire confiance aux solutions d'EDS dans les applications.

Leçon 4 • Solutions faibles et problèmes de martingales

Introduit les solutions faibles et la formulation du problème de martingale pour les EDS. Étend le concept de solution aux cas où les solutions fortes peuvent ne pas exister.

Leçon 1 • Formule de Feynman-Kac

Dérive la formule de Feynman-Kac reliant les EDP paraboliques aux espérances conditionnelles. Fournit un outil probabiliste pour résoudre les EDP et évaluer les produits dérivés financiers.

Leçon 2 • Générateurs des processus de diffusion

Définit le générateur infinitésimal d'une diffusion et le calcule pour des processus standard. Relie le générateur aux coefficients de dérive et de diffusion de l'EDS.

Leçon 3 • Ergodicité et comportement à long terme

Analyse les propriétés ergodiques des diffusions et la convergence vers des distributions stationnaires. Fournit des outils pour la simulation à long terme et l'inférence statistique sur les diffusions.

Leçon 4 • Équations progressive et rétrograde de Kolmogorov

Dérive l'équation rétrograde de Kolmogorov et l'équation forward de Fokker-Planck pour les densités de transition. Établit la perspective EDP sur la dynamique des diffusions.