Cours de maths probabilité

Leçon 1 • Axiomes et propriétés fondamentales

Présente les trois axiomes de Kolmogorov et en déduit les règles fondamentales. Les étudiants utilisent ces règles pour vérifier et calculer des probabilités de manière rigoureuse.

Leçon 2 • Ensembles, résultats et espaces d'échantillonnage

Introduit la notation ensembliste et le concept d'espace d'échantillonnage comme univers des résultats. Établit le vocabulaire utilisé dans tous les calculs de probabilités.

Leçon 3 • Définir et mesurer la probabilité

Couvre les interprétations classique, fréquentiste et subjective de la probabilité. Relie chaque interprétation à des contextes de mesure réels.

Leçon 1 • Règle de multiplication et règle en chaîne

Dérive la règle de multiplication à partir de la définition de la probabilité conditionnelle. L'étend à des chaînes de plusieurs événements dépendants.

Leçon 2 • Théorème de Bayes et mise à jour des croyances

Dérive le théorème de Bayes et l'applique pour inverser des probabilités conditionnelles. Les étudiants mettent à jour des croyances a priori avec de nouvelles preuves dans des problèmes structurés.

Leçon 3 • Loi des probabilités totales

Introduit les partitions de l'espace d'échantillonnage et la formule des probabilités totales. Fournit la base nécessaire pour dériver le théorème de Bayes.

Leçon 4 • Définition de la probabilité conditionnelle

Définit P(A|B) comme un rapport et explique comment le conditionnement restreint l'espace d'échantillonnage. Construit le pont conceptuel du raisonnement inconditionnel au raisonnement conditionnel.

Leçon 1 • Espérance et variance

Dérive l'espérance comme moyenne pondérée par les probabilités et la variance comme dispersion. Établit la linéarité de l'espérance et sa puissance de calcul.

Leçon 2 • Loi de Poisson

Dérive la loi de Poisson comme limite de la loi binomiale pour les événements rares. Les étudiants l'appliquent à des données de comptage et vérifient les conditions d'approximation de Poisson.

Leçon 3 • Lois géométrique et binomiale négative

Modélise les temps d'attente jusqu'au premier succès à l'aide des lois géométrique et binomiale négative. Relie ces lois à la propriété d'absence de mémoire des essais géométriques.

Leçon 4 • Lois de Bernoulli et binomiale

Modélise des essais binaires avec des variables de Bernoulli et des essais répétés avec la loi binomiale. Les étudiants dérivent et appliquent les formules de la fonction de masse, de la moyenne et de la variance.

Leçon 1 • Fonctions de densité de probabilité

Définit la densité et explique pourquoi les probabilités ponctuelles sont nulles pour les variables continues. Relie la densité à la fonction de répartition par l'intégration.

Leçon 2 • Lois uniforme et exponentielle

Introduit la loi uniforme pour des intervalles équiprobables et la loi exponentielle pour les temps d'attente. Met en évidence la propriété d'absence de mémoire de la loi exponentielle.

Leçon 3 • Autres lois continues importantes

Passe en revue les lois gamma, bêta et log-normale ainsi que le rôle de leurs paramètres. Prépare les étudiants à reconnaître et à sélectionner des modèles appropriés pour diverses formes de données.

Leçon 4 • Espérance et variance pour les variables continues

Adapte les formules d'espérance et de variance à des intégrales pour les distributions continues. Renforce les calculs de moments comme cadre unifié pour tous les types de variables.

Leçon 1 • Distributions conditionnelles

Étend la probabilité conditionnelle à des distributions conditionnelles complètes d'une variable étant donné une autre. Relie cela aux concepts antérieurs du théorème de Bayes dans un cadre distributionnel.

Leçon 2 • Distributions de probabilité conjointes

Définit les fonctions de masse et de densité conjointes pour des paires de variables aléatoires. Les étudiants extraient les distributions marginales en sommant ou en intégrant une variable.

Leçon 3 • Transformations de variables aléatoires

Dérive les distributions de fonctions d'une ou plusieurs variables aléatoires. Couvre la technique du changement de variable et le jacobien pour les cas continus.

Leçon 4 • Loi normale multivariée

Introduit la loi normale bivariée et multivariée ainsi que sa matrice de covariance. Les étudiants interprètent les lois normales marginales et conditionnelles et leur signification géométrique.

Leçon 1 • Modes de convergence

Distingue la convergence en probabilité, la convergence presque sûre et la convergence en loi. Clarifie la hiérarchie et les relations entre ces modes.

Leçon 2 • Fonctions génératrices des moments

Introduit les fonctions génératrices des moments comme outil pour dériver des moments et prouver des résultats distributionnels. Les étudiants les utilisent pour établir le théorème central limite et identifier des distributions.

Leçon 3 • Théorème central limite

Prouve que les moyennes d'échantillon standardisées convergent vers une loi normale. Les étudiants appliquent le théorème central limite pour approximer des probabilités de sommes et de moyennes.

Leçon 4 • Inégalités et bornes de probabilité

Dérive les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev comme outils pour borner les probabilités de queue. Fournit des bornes rigoureuses sans nécessiter la connaissance de la distribution complète.

Leçon 1 • Intervalles de confiance

Construit des intervalles de confiance pour les moyennes et les proportions à l'aide de distributions d'échantillonnage. Les étudiants interprètent le compromis entre la probabilité de couverture et la largeur de l'intervalle.

Leçon 2 • Tests paramétriques courants

Applique le cadre des tests d'hypothèses aux tests Z, tests T et tests du khi-deux. Relie chaque test à son modèle de probabilité sous-jacent.

Leçon 3 • Distributions d'échantillonnage

Dérive les distributions de statistiques d'échantillon telles que la moyenne et la variance. Introduit les distributions du khi-deux, T et F comme outils pour l'inférence.

Leçon 4 • Estimation ponctuelle

Définit les propriétés des estimateurs, notamment l'absence de biais, la convergence et l'efficacité. Les étudiants appliquent la méthode des moments et l'estimation par maximum de vraisemblance.

Leçon 1 • Bases de la théorie des files d'attente

Modélise les files d'attente à l'aide des structures M/M/1 et M/M/c. Les étudiants calculent la longueur moyenne de la file d'attente, le temps d'attente et le taux d'utilisation du serveur.

Leçon 2 • Distributions stationnaires et comportement à long terme

Dérive les distributions stationnaires et les conditions de leur existence et de leur unicité. Les étudiants interprètent les probabilités en régime stationnaire dans des contextes appliqués.

Leçon 3 • Processus de Poisson

Définit le processus de Poisson à travers ses propriétés de comptage et de temps inter-arrivées. Les étudiants dérivent les distributions des temps d'arrivée et appliquent le processus à des systèmes réels.

Leçon 4 • Analyse de la fiabilité et de la survie

Applique les lois exponentielle et de Weibull pour modéliser la durée de vie de composants. Les étudiants calculent les taux de défaillance, les fonctions de survie et la fiabilité des systèmes.

Leçon 5 • Chaînes de Markov à temps discret

Introduit la propriété de Markov et les matrices de probabilités de transition. Les étudiants calculent les probabilités de transition à plusieurs pas et classifient les états.