Cours sur les fonctions de plusieurs variables

Leçon 1 • Produit vectoriel et ses applications

Développe le produit vectoriel via la méthode du déterminant et explore sa signification géométrique. Permet le calcul de vecteurs normaux, du couple et des aires de parallélogrammes.

Leçon 2 • Coordonnées et points dans l'espace 3D

Présente le système de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles et la formule de distance. Fournit le cadre spatial nécessaire pour tout travail ultérieur sur les vecteurs et les surfaces.

Leçon 3 • Produit scalaire et ses applications

Couvre la formule du produit scalaire, l'angle entre vecteurs et l'orthogonalité. Se relie directement aux projections et aux vecteurs normaux utilisés dans les équations de plans.

Leçon 4 • Droites et plans dans l'espace

Établit les équations paramétriques, symétriques et standards des droites et des plans à l'aide de vecteurs. Développe le raisonnement spatial nécessaire pour les surfaces et les fonctions de plusieurs variables.

Leçon 1 • Longueur d'arc et courbure

Établit la longueur d'arc pour les courbes dans l'espace et définit la courbure à l'aide du repère de Frenet. Ces concepts apparaissent dans les applications de physique et en géométrie différentielle.

Leçon 2 • Intégration des fonctions vectorielles

Couvre les intégrales définies et indéfinies des fonctions vectorielles, composante par composante. Se relie à la position, la vitesse et l'accélération dans les problèmes de mouvement.

Leçon 3 • Introduction aux fonctions vectorielles

Définit les fonctions vectorielles ainsi que leurs ensembles de définition, limites et continuité. Établit le lien entre les courbes paramétriques et les fonctions vectorielles.

Leçon 4 • Mouvement dans l'espace : vitesse et accélération

Applique le calcul vectoriel pour analyser le mouvement d'un projectile et le mouvement circulaire à l'aide des composantes tangentielle et normale de l'accélération. Synthétise toutes les compétences des sections précédentes.

Leçon 1 • Plans tangents et approximation linéaire

Établit les équations du plan tangent et la linéarisation pour les fonctions de deux variables. Se relie aux différentielles et à l'estimation d'erreur utilisées dans les problèmes appliqués.

Leçon 2 • Dérivées directionnelles et gradient

Définit les dérivées directionnelles et le vecteur gradient, en les reliant à la direction de plus grande pente. Les propriétés du gradient sont essentielles pour l'optimisation et les multiplicateurs de Lagrange.

Leçon 3 • Fonctions de plusieurs variables

Définit les fonctions de plusieurs variables, leurs ensembles de définition, leurs images et leurs courbes de niveau. La visualisation des courbes et des surfaces de niveau prépare les étudiants au travail sur le gradient et l'optimisation.

Leçon 4 • Règle de dérivation en chaîne pour les fonctions de plusieurs variables

Étend la règle de dérivation en chaîne aux fonctions de plusieurs variables composées à l'aide d'arbres de dépendance. Permet la dérivation implicite et les problèmes de taux liés en dimensions supérieures.

Leçon 5 • Limites et continuité à plusieurs variables

Étend les concepts de limite aux contextes multivariés, y compris les limites dépendant du chemin. Établit les conditions de continuité nécessaires aux théorèmes de différentiabilité.

Leçon 1 • Test de la dérivée seconde en deux variables

Applique le discriminant D pour classer les points critiques en maxima, minima ou points col. Étend le raisonnement de la dérivée seconde à une variable aux surfaces.

Leçon 2 • Extremums locaux et points critiques

Identifie les points critiques en annulant les dérivées partielles et les classifie. Fournit la base du test de la dérivée seconde et de l'optimisation globale.

Leçon 3 • Extremums absolus sur des régions fermées

Trouve les maxima et minima absolus sur des ensembles fermés bornés en examinant l'intérieur et la frontière. Reflète la méthode de l'intervalle fermé du calcul à une variable.

Leçon 1 • Intégrales doubles sur des régions générales

Étend les intégrales doubles aux régions de type I et de type II avec des bornes variables. Changer l'ordre d'intégration simplifie souvent des intégrales par ailleurs intraîtables.

Leçon 2 • Intégrales triples en coordonnées sphériques

Présente les coordonnées sphériques et le jacobien ρ² sin φ pour les intégrales triples. Idéal pour les sphères, les cônes et autres solides à symétrie radiale.

Leçon 3 • Intégrales doubles en coordonnées polaires

Convertit les intégrales doubles en forme polaire à l'aide du facteur jacobien r. Les coordonnées polaires simplifient les intégrales sur des régions circulaires et symétriques.

Leçon 4 • Intégrales triples en coordonnées cylindriques

Transforme les intégrales triples à l'aide des coordonnées cylindriques pour les solides à symétrie axiale. Le jacobien r simplifie l'intégration sur les cylindres et les cônes.

Leçon 5 • Intégrales triples en coordonnées rectangulaires

Met en place et évalue des intégrales triples sur des régions solides parallélépipédiques et générales. Calcule le volume, la masse et les moments d'objets solides.

Leçon 1 • Changement de variables et jacobien

Établit la formule générale du changement de variables à l'aide du déterminant jacobien. Unifie les substitutions polaires, cylindriques et sphériques sous un même cadre.

Leçon 2 • Aire d'une surface via les intégrales doubles

Calcule l'aire d'une surface donnée par un graphe z = f(x, y) à l'aide de la formule de l'intégrale double. Étend les notions de longueur d'arc du calcul à une variable aux surfaces.

Leçon 3 • Applications probabilistes des intégrales doubles

Applique les intégrales doubles aux fonctions de densité de probabilité conjointes et aux espérances mathématiques. Démontre l'étendue de l'intégration multiple au-delà de la géométrie.

Leçon 1 • Intégrales curvilignes de champs de vecteurs

Définit et calcule les intégrales curvilignes de champs de vecteurs représentant le travail effectué par une force. Se relie aux interprétations de circulation et de flux en physique.

Leçon 2 • Intégrales curvilignes de fonctions scalaires

Évalue les intégrales curvilignes de fonctions scalaires par rapport à la longueur d'arc. Calcule la masse et le centre de masse d'objets en forme de fil.

Leçon 3 • Champs de vecteurs en deux et trois dimensions

Définit les champs de vecteurs, les esquisse et identifie les champs de gradient. La reconnaissance des champs conservatifs réduit considérablement le calcul des intégrales curvilignes.

Leçon 4 • Théorème fondamental pour les intégrales curvilignes

Énonce et applique le théorème fondamental aux champs conservatifs, montrant l'indépendance du chemin. La recherche de fonctions potentielles réduit les intégrales curvilignes à des évaluations aux bornes.

Leçon 1 • Intégrales de surface de champs de vecteurs et flux

Définit le flux comme l'intégrale de surface d'un champ de vecteurs multipliée scalairement par la normale unitaire. L'orientation des surfaces détermine le signe des intégrales de flux.

Leçon 2 • Intégrales de surface de fonctions scalaires

Évalue les intégrales de surface de fonctions scalaires sur des surfaces paramétriques et des graphes. Calcule la masse et la valeur moyenne d'une distribution surfacique.

Leçon 3 • Théorème de la divergence

Relie le flux à travers une surface fermée à l'intégrale triple de la divergence sur le volume qu'elle renferme. Achève l'unification des théorèmes du calcul vectoriel.

Leçon 4 • Surfaces paramétriques et leurs aires

Représente les surfaces de manière paramétrique et calcule l'aire d'une surface à l'aide du produit vectoriel des dérivées partielles. Généralise la formule d'aire de surface antérieure à des surfaces arbitraires.

Leçon 5 • Théorème de Stokes

Relie l'intégrale de surface du rotationnel de F à l'intégrale curviligne autour de la courbe frontière. Généralise le théorème de Green aux surfaces en trois dimensions.