Corso Avanzato di Probabilità e Metodi Statistici

Lezione 1 • Assiomi e proprietà della probabilità

Introduce gli assiomi di Kolmogorov e ne deriva le proprietà principali. Fornisce il fondamento logico per tutti i calcoli probabilistici del corso.

Lezione 2 • Calcolo combinatorio per la probabilità

Tratta le tecniche di conteggio essenziali per calcolare probabilità in spazi finiti. Collega il ragionamento combinatorio alla costruzione di modelli probabilistici.

Lezione 3 • Probabilità condizionata e indipendenza

Definisce formalmente la probabilità condizionata e l'indipendenza statistica. Collega questi concetti al ragionamento nel mondo reale sugli eventi dipendenti.

Lezione 4 • Spazi campionari e algebra degli eventi

Definisce gli spazi campionari, le sigma-algebre e le operazioni sugli eventi. Stabilisce il linguaggio insiemistico utilizzato in tutto il successivo lavoro probabilistico.

Lezione 1 • Funzioni generatrici e funzioni caratteristiche

Introduce le funzioni generatrici di probabilità, dei momenti e le funzioni caratteristiche. Dimostra il loro uso nell'identificare distribuzioni e nel dimostrare teoremi limite.

Lezione 2 • Variabili casuali discrete

Definisce le variabili casuali discrete mediante funzioni di massa di probabilità e funzioni di ripartizione. Introduce le distribuzioni di Bernoulli, binomiale, geometrica e di Poisson.

Lezione 3 • Valore atteso, varianza e momenti

Deriva gli operatori di valore atteso e varianza e le loro proprietà algebriche. Introduce le funzioni generatrici dei momenti come strumenti per caratterizzare le distribuzioni.

Lezione 4 • Variabili casuali continue

Introduce le funzioni di densità di probabilità e le funzioni di ripartizione continue. Tratta le distribuzioni uniforme, esponenziale e normale con le loro proprietà principali.

Lezione 1 • Distribuzioni condizionate e valore atteso condizionato

Deriva le distribuzioni condizionate e l'operatore di valore atteso condizionato. Introduce la proprietà della torre come strumento chiave per il calcolo dei valori attesi.

Lezione 2 • Distribuzione normale multivariata

Caratterizza la normale multivariata tramite il suo vettore delle medie e la matrice di covarianza. Deriva le distribuzioni marginali e condizionate e la proprietà di trasformazione affine.

Lezione 3 • Copule e modellazione della dipendenza

Introduce il teorema di Sklar e le famiglie di copule per modellare la dipendenza non lineare. Applica le copule al comportamento congiunto delle code e all'aggregazione del rischio.

Lezione 4 • Distribuzioni congiunte e marginali

Definisce le funzioni di massa di probabilità e di densità di probabilità congiunte e deriva le distribuzioni marginali per integrazione o somma. Stabilisce il quadro multivariato per tutti i capitoli successivi.

Lezione 1 • Disuguaglianze di concentrazione

Introduce le disuguaglianze di Markov, Chebyshev, Chernoff e Hoeffding per i limiti di probabilità di coda. Applica questi strumenti alla determinazione della dimensione campionaria e all'analisi degli algoritmi.

Lezione 2 • Leggi dei grandi numeri

Dimostra le leggi debole e forte dei grandi numeri in condizioni standard. Collega questi risultati alla giustificazione della probabilità frequentista e alla simulazione.

Lezione 3 • Metodo delta e stabilizzazione della varianza

Deriva il metodo delta per le distribuzioni asintotiche di funzioni regolari di stimatori. Applica le trasformazioni stabilizzatrici della varianza per migliorare le approssimazioni normali.

Lezione 4 • Modi di convergenza stocastica

Definisce la convergenza in probabilità, quasi certa, in media e in distribuzione. Chiarisce la gerarchia dei modi di convergenza con esempi e controesempi.

Lezione 1 • Metodo dei momenti e stima bayesiana

Introduce la stima con il metodo dei momenti e la contrappone alla stima bayesiana a posteriori. Tratta le prior coniugate e la media a posteriori come stimatore di Bayes.

Lezione 2 • Proprietà degli stimatori puntuali

Definisce la non distorsione, la consistenza, l'efficienza e la sufficienza per gli stimatori puntuali. Fornisce criteri per confrontare stimatori concorrenti in contesti applicativi.

Lezione 3 • Intervalli di confidenza e quantità pivot

Costruisce intervalli di confidenza esatti e approssimati usando quantità pivot. Interpreta la probabilità di copertura e distingue gli intervalli di confidenza da quelli credibili.

Lezione 4 • Limite inferiore di Cramér-Rao

Deriva il LICR come varianza minima per gli stimatori non distorti. Identifica gli stimatori efficienti e collega il limite all'informazione di Fisher.

Lezione 1 • Test del rapporto di verosimiglianza generalizzato

Deriva il TRVG per ipotesi composte e stabilisce il teorema di Wilks per la distribuzione asintotica chi-quadrato. Applica il TRVG al confronto di modelli annidati.

Lezione 2 • Teoria statistica delle decisioni

Inquadra la stima e la verifica di ipotesi come problemi decisionali con funzioni di perdita e rischio. Introduce l'ammissibilità, le regole minimax e le procedure decisionali di Bayes.

Lezione 3 • Confronti multipli e controllo del tasso di errore

Affronta il problema dei confronti multipli e introduce le procedure di controllo del FWER e del FDR. Applica le correzioni di Bonferroni, Holm e Benjamini-Hochberg.

Lezione 4 • Fondamenti della verifica delle ipotesi

Definisce le ipotesi nulla e alternativa, gli errori di I e II tipo e la potenza. Stabilisce il quadro di Neyman-Pearson come base per la costruzione di test ottimali.

Lezione 1 • Effetti misti e modelli gerarchici

Introduce gli effetti casuali per tenere conto di strutture di dati raggruppati e longitudinali. Deriva la stima REML e interpreta le componenti a effetti fissi e casuali.

Lezione 2 • Diagnostica della regressione e verifica delle assunzioni

Identifica le violazioni delle assunzioni di linearità, omoschedasticità, normalità e indipendenza. Applica grafici dei residui, misure di influenza e test diagnostici formali.

Lezione 3 • Regressione lineare semplice e multipla

Deriva gli stimatori OLS tramite algebra matriciale e stabilisce il teorema di Gauss-Markov. Tratta l'inferenza sui coefficienti, l'adattamento del modello e gli intervalli di previsione.

Lezione 4 • Selezione delle variabili e regolarizzazione

Tratta i metodi di selezione dei sottoinsiemi, i criteri AIC/BIC e i metodi di contrazione per la regressione ad alta dimensionalità. Deriva gli stimatori ridge e lasso e i loro compromessi bias-varianza.

Lezione 1 • Specifica del modello bayesiano

Tratta le strategie di elicitazione della prior, incluse le prior informative, debolmente informative e non informative. Collega la scelta della prior alla sensibilità della distribuzione a posteriori e all'identificabilità del modello.

Lezione 2 • Calcolo della distribuzione a posteriori e coniugatezza

Deriva le distribuzioni a posteriori in forma chiusa per modelli coniugati e ne identifica i limiti. Motiva i metodi numerici per il calcolo di distribuzioni a posteriori non coniugate.

Lezione 3 • Metodi Markov Chain Monte Carlo

Deriva gli algoritmi di Metropolis-Hastings e Gibbs sampling per la simulazione della distribuzione a posteriori. Tratta la diagnostica di convergenza e la valutazione della dimensione effettiva del campione.

Lezione 4 • Confronto tra modelli bayesiani

Introduce i fattori di Bayes, le verosimiglianze marginali e i criteri di informazione per la selezione del modello statistico. Applica WAIC e LOO-CV per il confronto predittivo tra modelli.