Curso de Matemática Avançada

Aula 1 • Lógica e Cálculo Proposicional

Aborda tabelas de verdade, conectivos lógicos e quantificadores como ferramentas para o argumento matemático preciso. Estabelece a linguagem formal utilizada em todos os capítulos subsequentes.

Aula 2 • Teoria dos Conjuntos e Operações

Introduz conjuntos, subconjuntos e operações incluindo união, interseção e complemento. Fornece o vocabulário estrutural subjacente a funções, relações e sistemas numéricos.

Aula 3 • Técnicas de Demonstração e Estratégias

Ensina demonstração direta, demonstração por contradição, contraposição e indução. Os estudantes aplicam cada método a afirmações numérico-teóricas e algébricas.

Aula 1 • Anéis de Polinómios e Fatorização

Estuda anéis de polinómios sobre corpos, critérios de irredutibilidade e fatorização única. Conecta a teoria da fatorização abstrata a métodos práticos de determinação de raízes.

Aula 2 • Divisibilidade e Aritmética Modular

Aborda regras de divisibilidade, o algoritmo de Euclides e congruências. Forma a base computacional para aplicações criptográficas e algébricas introduzidas posteriormente.

Aula 3 • Anéis, Ideais e Estruturas Quociente

Define anéis, domínios de integridade e ideais, depois constrói anéis quociente. Faz a ponte entre a teoria dos grupos e a álgebra polinomial e extensões de corpo.

Aula 4 • Extensões de Corpo e Teoria de Galois

Explora extensões algébricas e transcendentes, corpos de decomposição e grupos de Galois. Culmina na insolubilidade da quíntica geral por radicais.

Aula 1 • Teoria da Integração de Riemann

Constrói o integral de Riemann através de somas superiores e inferiores e demonstra o teorema fundamental do cálculo. Estabelece condições de integrabilidade para funções limitadas.

Aula 2 • Limites, Continuidade e Continuidade Uniforme

Define limites épsilon-delta e continuidade, depois distingue continuidade pontual de continuidade uniforme. Demonstra os teoremas do valor extremo e do valor intermédio.

Aula 3 • Espaços Métricos e Conceitos Topológicos

Generaliza a análise para espaços métricos, definindo conjuntos abertos, compacidade e conexidade. Prepara os estudantes para análise funcional e geometria avançada.

Aula 4 • Diferenciação e Teoremas do Valor Médio

Desenvolve a derivada rigorosamente e demonstra os teoremas de Rolle, do valor médio e de Taylor. Conecta propriedades analíticas a interpretações geométricas de funções.

Aula 1 • Técnicas de Integração Múltipla

Desenvolve integrais duplos e triplos usando o teorema de Fubini e transformações de coordenadas. Aborda sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

Aula 2 • Integrais de Superfície e Teoremas Integrais

Calcula integrais de superfície e fluxo, depois demonstra os teoremas de Stokes e da Divergência. Unifica os teoremas integrais como instâncias de um teorema de Stokes generalizado.

Aula 3 • Campos Vetoriais e Integrais de Linha

Introduz os operadores gradiente, divergência e rotacional e avalia integrais de linha de campos vetoriais. Estabelece condições de independência do caminho e de campo conservativo.

Aula 4 • Otimização em Múltiplas Variáveis

Aplica testes da segunda derivada e multiplicadores de Lagrange para localizar extremos de funções multivariáveis. Conecta a teoria da otimização a problemas de modelação aplicada.

Aula 1 • Espaços Vetoriais e Subespaços

Define espaços vetoriais abstratos sobre corpos, bases e dimensão. Conecta a definição abstrata a espaços de coordenadas concretos e espaços de funções.

Aula 2 • Decomposições Matriciais e Aplicações

Aborda decomposições LU, QR e de valor singular e os seus papéis computacionais. Aplica a SVD à aproximação de baixa característica e à análise de componentes principais.

Aula 3 • Valores Próprios e Diagonalização

Calcula valores próprios e vetores próprios através do polinómio característico e diagonaliza matrizes quando possível. Introduz o polinómio mínimo e o teorema de Cayley-Hamilton.

Aula 4 • Espaços com Produto Interno e Ortogonalidade

Define produtos internos, normas e complementos ortogonais, depois aplica a ortogonalização de Gram-Schmidt. Demonstra o teorema espectral para operadores simétricos.

Aula 1 • Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Resolve equações separáveis, lineares, exatas e de Bernoulli e analisa existência e unicidade. Introduz campos de direções e comportamento qualitativo das soluções.

Aula 2 • Métodos da Transformada de Laplace

Usa a transformada de Laplace para converter EDOs em equações algébricas e lida com forçamento descontínuo. Aborda a convolução e o conceito de função de transferência.

Aula 3 • Soluções em Série e Funções Especiais

Aplica séries de potências e o método de Frobenius perto de pontos ordinários e singulares regulares. Introduz as equações de Bessel e Legendre como exemplos canónicos.

Aula 4 • Sistemas Lineares e EDOs de Ordem Superior

Converte EDOs lineares de ordem superior em sistemas de primeira ordem e resolve através de métodos de valores próprios. Aplica variação de parâmetros e coeficientes indeterminados.

Aula 1 • Teorema dos Resíduos e Aplicações

Calcula resíduos em pólos e aplica o teorema dos resíduos para avaliar integrais definidos. Aborda o princípio do argumento e o teorema de Rouché.

Aula 2 • Aplicações Conformes e Aplicações

Estuda aplicações que preservam ângulos, transformações de Möbius e o teorema da aplicação de Riemann. Aplica aplicações conformes para resolver a equação de Laplace em domínios irregulares.

Aula 3 • Números Complexos e Funções Analíticas

Revê a aritmética complexa, introduz as equações de Cauchy-Riemann e define analiticidade. Estabelece a conexão entre diferenciabilidade complexa e funções harmónicas.

Aula 4 • Séries de Taylor e Laurent

Expande funções analíticas em séries de Taylor e funções meromorfas em séries de Laurent. Classifica singularidades isoladas como removíveis, pólos ou essenciais.

Aula 1 • Transformadas de Fourier e Laplace para EDPs

Usa transformadas de Fourier e Laplace para resolver EDPs em domínios ilimitados. Deriva o núcleo do calor e analisa relações de dispersão.

Aula 2 • Classificação e Boa-Colocação de EDPs

Classifica EDPs lineares de segunda ordem como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas e enuncia condições de boa-colocação. Introduz formas canónicas e curvas características.

Aula 3 • Séries de Fourier e Convergência

Deriva coeficientes de séries de Fourier e analisa convergência pontual e uniforme. Demonstra a identidade de Parseval e discute o fenómeno de Gibbs.

Aula 4 • Método de Separação de Variáveis

Aplica separação de variáveis às equações do calor, da onda e de Laplace em domínios padrão. Conecta expansões em funções próprias à teoria de Sturm-Liouville.